Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 60

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 87 >> Следующая

Теорема 70.3. Сфера Se (хо, г) и замкнутый шар Be (х о, г) в пространстве с евклидовой нормой являются компактными множествами.
178
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
MW = 1
1
1


Две нормы Il • У' и Il • И" в линейном пространстве V называются эквивалентными, если существуют такие числа c1 > О, C2 > 0, что для любого вектора X Є V выполняются неравенства
Nl'< cilWI" и \\х\\"< с2||х||'.
Теорема 70.4. В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны.
Следствие. В конечномерном пространстве из сходимости по одной норме следует сходимость по любой другой норме.
Пример 70.6. Показать, что норму в арифметическом пространстве Ш.п (С ) можно определить равенством
\\*\\р=[ЕЫр) , P
> 1.
Эту норму называют также нормой Гёльдера с показателем р.
Решение. Проверка аксиом нормы нетривиальна лишь для неравенства треугольника, которое для нормы || • ||р совпадает с классическим неравенством Минковского:
(70.1)
\к=1 / \к=1
Его вывод опирается на так называемое неравенство Гёльдера:
і/?
Хк\
1/9
1 + 1 = 1.
P Я
Докажем сначала неравенство Гёльдера.
Отметим, что функция }{х) = ха — ах на интервале (0,оо) при а Є (0,1) достигает максимума в точке х = 1. Действительно, /'(х) = а(х°(-1 -1) = 0 при X = 1, причем f'(x) > 0 при X Є (0,1) и }'{х) < 0 при х > 1. Следовательно, f(x) < /(1), что эквивалентно следующему неравенству ха - ах < 1 - a, Va Є (0,1), Vz > 0.
Если в этом неравенстве положить х = а/6, а = 1/р, где а, 6 - произ-
§70. Норма вектора
179
вольные положительные числа и р > 1, то получим
После умножения обеих частей на 6, придем к неравенству
а1/рь1/*<?+*, Где 1 + 1 = 1, р>1.
- р q р q
Это неравенство (называемое неравенством Юнга), как нетрудно видеть, справедливо и в случае, когда одно из чисел а или Ь равно нулю.
Пусть теперь х\,..., ж„, у і,..., уп - произвольные вещественные или комплексные числа. Обозначим
и будем считать, что X и Y отличны от нуля (иными словами, среди чисел Xk, к = 1,п, и среди чисел ук, к = 1,п, есть ненулевые; это условие не ограничивает общности, так как если все числа равны нулю, то неравенство Гёльдера превращается в тривиальное тождество). Положим
Xk л. Ук j -л— Xk = у, Yk = У' & = 1,п.
п п
Тогда, очевидным образом, Y №к\р = Y №\ч = 1-
*=і k=i
Запишем неравенство Юнга для величин а = \Хк\р и Ь = \Yk\q:
\XkYk\ < -\Xk\" + -\Yk\4. P Я
Если - + — = 1, то, складывая почленно эти неравенства, получим P Я.
Ё і**у*і * IЁ w+? Ё w = I + \ = 1-
п
Умножая обе части полученного неравенства ^ 1??! < 1 на величину
k=i
XY1 с учетом принятых обозначений приходим к неравенству Гёльдера.
Перейдем к доказательству неравенства Минковского. Сначала применим неравенство треугольника \хк + Ук\ < \хк\ 4- \ук\ к каждому слагаемому в левой части (70.1):
п п
5>* + У*1"< + ы)р. (70.2)
к=1 к=1
180
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Правую часть этого неравенства преобразуем следующим образом:
п п п
Ea**i + ыг = E 1**1(1**1+ і^і)р_1+E i»*Ki**i+1»*')""1-
к = 1 к=\ к-\
К каждой полученной сумме применим неравенство Гёльдера, тогда
І>*і+і№і)р ^ {(Ё ixfcip)1/Р+ (Ё і»ір) 1/Р| (Ed^i+^i)'"-1")
fc=i ^ ^k=I ' Ч=і / J Ч=і /
I/«
Но (р — l)q = р, поэтому разделив обе части этого неравенства на вели-i-(i/p)
чину
(?(М + Ы)Р
\*=1
получим
1/р
1/р
1/р
\fc = l / \fc = l / \fc = l /
что с учетом неравенства (70.2) дает неравенство Минковского (70.1). ¦
Пример 70.7. Пусть в пространстве V (вещественном или комплексном) выбран какой-либо базис ei,... ,еп. Рассмотрим для каждого вектора X Є V его норму Il • I|р относительно этого базиса:
n / n \ 1Zp
х = ^ГхкЄк н-> NIp = I Е1Ж*1Р ) ' P-1-к=і \к=і J
Доказать, что выполнено соотношение
lim ||ж||р = ||ж||оо,
р—>oo
где llxlloo = max \хк\.
\<к<п
Решение. Без ограничения общности будем считать, что координаты вектора X упорядочены по невозрастанию их абсолютных величин, причем
|Ж11 = ... = > |xm+i| > ... > \Хп\.
В этом случае имеем ||ж||оо = \xi\- Преобразуем далее величину ||ж||р:
Mp = M (™+ E
fc=m + l
1/Р
\xi \ • ехр
/ п
і In m+ Y,
fc=m + l

1
Х\ л
= \х\ \ - ехр
- [lnm + ln ( 1 + — V
fc=m + l
Xk Xl
§70. Норма вектора
181
Так как при к > га 4- 1:
< 1, то Hm
D-> OO '
fc=m+l
= 0. Поэтому
Hm ||ж||р = Hm ехр
р—>OO р—>OO
(1пга + о(1))
Fl = F оо.
ЗАДАЧИ
70.1. Можно ли норму тп(х) в пространстве Сп задать равенством
m(x) = max (I ReXjI 4-I Imxjl), Vx = (жь ..., жп)?
70.2. Можно ли норму га(А) в пространстве Rnxm задать равенством
Tn(A) = TgA, УАєГгХт?
70.3. Можно ли норму m(f) в пространстве Mn задать равенством
ГЬ -ІІ/2
т(/) =
/ f2(t)p(t)
dt
(a<b), V/ Є Mn,
где /о(?) - непрерывная на [а, 6] функция?
70.4. Можно ли норму тп(Л) в пространстве C(V, W) задать равенством
тп(Л) = [tr(^M)]1/2, МЛ Є C(V1 W)I
70.5. Пусть тп(х) и п(х) - две нормы в линейном пространстве V. Показать, что нормами в этом пространстве будут и следующие величины:
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed