Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
71.7. Пусть ЦАЦ - мультипликативная матричная норма в пространстве СпХп. Показать, что мультипликативными матричными нормами будут и следующие величины:
а) M(A) = а\\А\\, а > 1;
б) L(A) = \\А"\\;
в) N(A) = \\Р 1APW, где P - невырожденная матрица порядка п.
71.8. Показать, что если M(A) и L(A) - мультипликативные матричные нормы, то величина
N(A) -тах{М(Л), L(A)}
190
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
также будет мультипликативной матричной нормой.
71.9. Доказать, что для любой подчиненной нормы в пространстве C(V, V) выполнено равенство ||Х|| = 1. Верно ли, что если согласованная норма N(-) удовлетворяет условию N(I) = 1, то она является подчиненной?
71.10. Пусть А = (atj) Є Cnxn (n > 2). Показать, что функция, определенная равенством
K(A)= ? К|,
является мультипликативной матричной нормой. Показать, что норма K(A) не подчинена никакой векторной норме на Сп.
71.11. Пусть Eij - матрица порядка п, у которой единственный ненулевой элемент стоит в позиции (l,j) и равен единице. Показать, что если матричная норма ||А|| для всех l,j удовлетворяет неравенству \\Ец\\ < 1, то
PlI < K(A),
где K(A) - норма, определенная в предыдущей задаче.
71.12. Пусть А = (atj) Є CnXn (n > 2). Показать, что функция, определенная равенством
M(A) -с- max |а0|,
l</j<n
является матричной нормой при любом с > 0. Показать, что: а) эта норма является мультипликативной тогда и только тогда, когда с > п; б) при с > 1 эта норма не подчинена никакой векторной норме; в) при с Є (0,1) эта норма не согласована ни с одной векторной нормой в Сп.
71.13. Доказать, что если || • || - мультипликативная матричная норма в Спхп, то в арифметическом пространстве Сп можно ввести норму, относительно которой матричная норма || • || будет согласованной.
71.14. Как вычислить спектральную норму: а) диагональной матрицы; б) квазидиагональной матрицы?
71.15. Найти евклидову норму: а) единичной матрицы п-го порядка; б) унитарной матрицы порядка п. Каковы спектральные нормы этих матриц?
71.16. Найти евклидову норму самосопряженной матрицы А порядка п, зная ее собственные значения A1,..., An.
71.17. Доказать, что спектральная норма матрицы А равна ее евклидовой норме тогда и только тогда, когда А - матрица
§ ZJ. Линейные операторы в нормированных пространствах!91
ранга 1.
71.18. Показать, что спектральная норма ненулевого оператора ортогонального проектирования V, действующего в евклидовом (унитарном) пространстве V', равна единице.
71.19. Доказать, что верно и обратное: если спектральная норма проектора V равна единице, то V - оператор ортогонального проектирования.
71.20. Доказать, что для любых унитарных матриц U и V выполнены соотношения
HtZAVl2 = PII21 WUAVh = р||в.
71.21. Доказать неравенства:
а) WAWe < у/И\\А\\2;
б) WABWe <\ШШ\\Е;
в) WABWe < ІИ||я||В|І2.
71.22. Доказать, что для любой матрицы А Є CnXn выполнены неравенства:
а) РІІ^НАуЛіи
б) ЦАЦ! < PU|A||„ где р > 1 и р-1 + сГ1 = 1.
71.23. Пусть матрица А имеет эрмитово разложение А = Hi + iH2. Доказать, что:
а) IltfJ, < Р||2, ||Я2||2 < Р||2;
б) ||ЗД + ||Яа||і = ||А|||.
71.24. Доказать, что если А = Hi + iH2 - эрмитово разложение матрицы А, то для любой эрмитовой матрицы H выполнено неравенство
\\А - ЩЕ > WA-H1Wb. Таким образом, матрица Hi из эрмитова разложения А является эрмитовой матрицей, ближайшей (в смысле евклидова расстояния) к матрице А. Аналогично, матрица IH2 - ближайшая к А косоэрмитова матрица. Указать аналог этого свойства на комплексной плоскости.
71.25. Пусть А — HU - полярное разложение матрицы А. Показать, что для матриц Hx и H2 ее эрмитова разложения А = Hі + і H2 выполнено соотношение
Какому свойству комплексных чисел соответствует это равенство?
71.26. Доказать, что для всякой положительно определенной
192
Глава XVIIL Линейные нормированные пространства
матрицы А ближайшей в смысле евклидова расстояния унитарной матрицей является единичная матрица /, наиболее далекой - матрица —/. Что изменится, если А - неотрицательная матрица?
71.27. Пусть А = HU - полярное разложение матрицы А. Доказать, что для любой унитарной матрицы V справедливы неравенства
\\A-U\\B<\\A-V\\E<\\A + U\\E. Указать соответствующее свойство комплексных чисел.
71.28. Пусть А - п х п-матрица с сингулярными числами Pi) • • •) Pn- Положим
S[A) =fh + ...+pn. Доказать, что S(A) является мультипликативной матричной нормой.
71.29. Доказать, что для любых неотрицательных матриц Л и В и любых неотрицательных чисел а и ? норма, определенная в предыдущей задаче удовлетворяет равенству
S(aA + ?B) = aS(A) + ?S(B).
71.30. Показать, что в определении подчиненной нормы
Ml= «p^
хфв IfII
знак точной верхней грани можно заменить на знак максимума.
71.31. Пусть нормы Il • \\р (1 < р < оо) в пространствах C(V, W) и C(W, V) подчинены векторным нормам || • ||р в пространстве V относительно заданного базиса е и в пространстве W относительно заданного базиса /. Доказать, что:
а) MIIi = MII00, ||Д||оо = М1Іі;
б) MIIp = MlIg ПРИ любом р > 1, где р-1 + q'1 = 1.
71.32. Пусть линейный функционал / в евклидовом (унитарном) пространстве V действует по правилу: f(x) — (x,h), где h Є V - заданный вектор. Доказать, что подчиненные нормы функционала / вычисляются по формулам:
