Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 72.2 (теорема Фредгольма). Операторное уравнение (72.1) имеет решение тогда и только тогда, когда его правая часть ортогональна всем решениям сопряженного уравнения (72.2).
Пусть уравнение (72.1) разрешимо, и пусть H - множество всех его решений. Нормальным решением уравнения (72.1) называется такое его решение Zo, что
\Ы\е = inf
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 203
Теорема 72.3. Для любого разрешимого уравнения (72.1) нормальное решение Zo существует и единственно, причем Zo - перпендикуляр, опущенный из любого решения z уравнения (72.1) на кег А.
Для уравнения (72.1) вектор г = Az — и называется невязкой вектора 2, функция F(z) = \\Az — и\\2Е - функционалом невязки.
Вектор Z+ Є V называется псевдорешением уравнения (72.1), если
\\Az+ - и\\2Е = inf \\Az - и\\%. (72.3)
Другими словами, псевдорешение - это вектор пространства V, минимизирующий функционал невязки.
Если уравнение (72.1) разрешимо, то псевдорешение совпадает с решением в обычном смысле.
Теорема 72.4. Псевдорешение существует для любого операторного уравнения (72.1).
Уравнение
A* Az = А*и (72.4)
называется нормальным уравнением для уравнения (72.1).
Теорема 72.5. Вектор Z+ пространства V является псевдорешением уравнения (72.1) тогда и только тогда, когда Z+ - решение нормального уравнения (72.4).
Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным псевдорешением. Из теорем 72.3, 72.5 следует, что нормальное псевдорешение существует и единственно для любого уравнения (72.1).
Пример 72.1. Найти нормальное решение системы
{Xi 4- Х2 — 2хз 4- х\ — —3, х\ 4- 2x2 — хз — Xa = 3
относительно евклидовой нормы, соответствующей стандартному скалярному произведению в пространстве IR4.
Решение. В силу теоремы 72.3 для нахождения нормального решения необходимо среди всех решений данной системы выбрать то, которое ортогонально ядру матрицы системы, т.е. ортогонально всем решениям приведенной однородной системы
Г х\ -h Х2 — 2хз + ха = 0, (чп к\
\ Xi 4- 2x2 -X3-X4 = O. \(Z,0)
Это равносильно тому, что нормальное решение должно быть ортогонально какому-либо базису этого ядра, т.е. какой-либо фундаментальной системе решений (72.5). Имеем
11-2 110 1 Г 1 1 -2 110 1 2 -1 -1 0 ~Ч 0 1 1 -2 0
Xl X2 хз X4
3 -1 1 0
-3 2 0 1
Фундаментальную систему решений (72.5) образуют векторы еі = (3,-1,1,0)т ,е2 = (-3,2,0,1)т.
204
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Таким образом, нормальное решение является единственным решением следующей системы
Xl + Xl
(х,е2) = 0
2жз 4- Х4 = -з, 1 1 - -2 1 -з 1
¦ Хз — Х4 = 3, 1 2 - -1 -1 3
3 -1 1 0 0
_ -3 2 0 1 0
¦ 1 1 -2 1 _ 3 ' ( Xl = 0,
0 1 1 -2 6 J X2 = 1,
0 0 11 -11 33 I хз = 1,
0 0 0 3 — 6 _ { X4 = -2.
Итак, нормальным решением является вектор Zo = (0,1,1,— 2)т. Пример 72.2. Найти все псевдорешения системы
Г Xi + хч + хз = 7, ^ 2xi + 2х2 + 2х3 = 4,
L Xl — Х2 = 0.
считается заданным стандарт-
Скалярное произведение в пространстве ным образом.
Решение. Очевидно, что данная система несовместна. Выпишем матрицу системы А, столбец правых частей 6:
г 1 1 1 1 Г 7 І
A = 2 2 2 ь = 4
1 -1 0 0
и построим соответствующую нормальную систему2 АтАх = АТЬ. Так как АТА =
г 6 4 5 1 Г 15.1
4 6 5 , АТЬ = 15
5 5 5 15
то нормальная система имеет вид
6xi + 4x2 + 5хз = 15, 4xi + 6х2 + 5хз = 15, 5xi + 5x2 + 5хз = 15.
(72.6)
Решим нормальную систему:
Г 6 4 5 15 І
4 6 5 15
5 5 5 15
1 113 -1 0 0
Отсюда решением нормальной системы (72.6), а следовательно, псевдорешением исходной системы является любой вектор (хі,Х2,хз)т, удовлетворяющий условиям
{Xi + X2 + хз = 3, Xi - X2 = 0,
2Отметим, что, так как скалярное произведение в IR3 считается заданным стандартным образом, сопряженным оператором А* к оператору Л, заданному в естественном базисе матрицей А, является оператор, заданный матрицей Ат.
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 205
т.е. вектор вида (а,а,3 — 2а)т, а Є IR. ¦
Пример 72.3. Найти все псевдорешения системы
( Xi + X2 + хз = 7,
^ Xl + Х2 + Хз = 2, I Xl - Х2 = 0.
Скалярное произведение в пространстве IR3 считается заданным стандартным образом.
Решение. Отметим сначала, что данная система получена из несовместной системы предыдущего примера элементарным преобразованием второго уравнения - делением его обеих частей на число 2.
Аналогично предыдущей задаче:
г 1 1 1 і Г 7 1 Г 3 1 2 1 Г 9 1
A = 1 1 1 , ь = 2 , АТА = 1 3 2 , АТЪ = 9
1 -1 0 0 2 2 2 9
Нормальная система имеет вид
( 3xi +X2 + 2хз = 9, I Xi + 3x2 + 2хз = 9, I 2xi + 2х2 + 2хз = 9
Xi + Х2 + хз = 9/2,
Xl — Х2 = 0.
Таким образом, псевдорешением является любой вектор вида (а, а, 9/2 — 2о)т ,а Є IR.
Следует обратить внимание, на то, что, несмотря на "близость" данной системы и системы из предыдущей задачи, множества их псевдорешений различны. ¦
Пример 72.4. Найти нормальное псевдорешение системы из примера 72.2.
Решение. Нормальное псевдорешение этой системы является нормальным решением соответствующей нормальной системы (72.6).
