Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
а) Ii/Ці = IlfclU іі/ІІоо = Иі;
б) іі/іір = IWIg при любом р > 1, где р 1 + q 1 = 1.
71.33. В пространстве многочленов Mn нормы || • ||р введены относительно естественного базиса. Найти подчиненные нормы
|р следующих линейных функционалов / в Mn:
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!93
a) /(х) = х(0); б) f{x) = х(1); в) /(х) = х'(1);
г) f{x) = [ x(t) А; д) /(х) = [ xit)tdt. Jo Jo
71.34. Вычислить евклидовы нормы функционалов из предыдущей задачи, если известно, что скалярное произведение в Mn задано стандартным образом.
71.35. Найти подчиненную нормы ||/||р линейного функционала f(A) = tr А в пространстве матриц Епхп.
71.36. Найти следующие подчиненные нормы диагональной матрицы A = diag(A!,...,An): а) ||Л||і; б) ЦЛЦ^; в) ||Л||Р,
1 < р < 00.
71.37. Доказать, что при п > 2 для всякой n х п-матрицы А = (akj) справедливы:
а) равенство
max \akj \ = max ,, „—;
l<fc,j<n' 71 хфВ ||ж||і
б) строгое неравенство
А , , \\Ах\\х
> \akA > max , ' .
kfJ k3] **• IHU
71.38. Нормы m(-) и n(-) линейного пространства V таковы, что для любого вектора х: тп(х) = сп(ж), где с - фиксированное число. Показать, что соответствующие подчиненные нормы в C(V, V) совпадают.
71.39. Пусть M(A) - норма матриц, подчиненная векторной норме т(х). Найти матричную норму, подчиненную норме n(x) = т(Рх), где P - фиксированная невырожденная матрица.
71.40. Пусть А - матрица ранга 1, представленная в виде произведения А — хун, где X и у - n-мерные вектор-столбцы. Для любой нормы т(х) арифметического пространства и соответствующей подчиненной нормы матриц M(A) доказать равенство
M(A) = т(х)т*(у), где т*(у) - норма, двойственная к т(х) относительно стандартного скалярного произведения.
71.41. Найти значение нормы WAW00 на матрице ранга 1 с известным представлением А = хун.
71.42. Оператор А действует в евклидовом (унитарном) пространстве V по правилу Ax = (ж,Ь)а, где а, Ъ Є V- заданные
194
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
векторы. Доказать, что для любой нормы || • Wv в пространстве V подчиненная ей норма оператора Л может быть найдена из соотношения
MII = NvIW,
где Il • \\у - норма, двойственная к норме || • ||у относительно скалярного произведения в V.
71.43. Пусть L = С(е) - подпространство евклидова (унитарного) пространства V', натянутое на вектор е единичной длины. Пусть оператор Л Є C(V1V) ранга 1 таков, что YmA = L. Доказать, что для любой нормы ||-||р в пространстве V подчиненная ей норма оператора А может быть найдена из соотношения
MlIp = IIeIIp-Meli,, где p~l + q~l = 1 при р > 1, q = оо при р = 1 и q = 1 при р = оо.
71.44. Пусть п(-) и га(-) - две заданные нормы в пространстве Cn, a C1 и C2 - пара положительных констант, наилучших в соотношении их эквивалентности:
Сіп(х) < m(x) < C2Ti(X)1 Mx Є Cn. Обозначим через N(-) и М(-) матричные нормы в Спхп, подчиненные нормам п(-) и т(-) соответственно. Доказать, что выполнено соотношение
-N(A) < M(A) < -N(A), MA Є Cnxn,
C2 C1
Cl C2
причем константы — и — являются наилучшими.
71.45. Пусть п(-) и т(-) - две заданные нормы в пространстве Cn, a N(-) и М(-) - соответствующие им подчиненные матричные нормы на Спхп. Доказать, что равенство
N(A) = M(A)
выполнено для всех матриц А Є Cnxn тогда и только тогда, когда существует константа с > 0 такая, что п(х) = Cm(X)1 Mx Є Сп.
71.46. Доказать, что в обозначениях предыдущей задачи неравенство
N(A) < M(A)
для подчиненных матричных норм выполнено сразу для всех матриц А Є Cnxn в том и только том случае, когда N(A) = M(A)1 MA Є Спхп.
§7І. Линейные операторы в нормированных пространствах!95
71.47. Пусть ||А|| - подчиненная матричная норма. Доказать, что для нее справедливо представление
IAl- max Ш.
71.48. Доказать, что представление из предыдущей задачи остается в силе и в том случае, если максимум в правой части берется не по всем ненулевым матрицам В, а только по матрицам В ранга 1.
71.49. Доказать, что для подчиненной матричной нормы \\А\\ справедливо представление
= B^J-JbT'
71.50. Пусть m(x) и m*(x) - двойственные нормы арифметического пространства, M(A) и М*(А) - подчиненные им нормы матриц. Доказать, что для всякой матрицы А
М(А) = М*(АН).
71.51. Доказать, что, какова бы ни была квадратная матрица А порядка п, любая ее матричная норма ЦАЦ связана со спек-
тральным радиусом р(А) = max |А^| матрицы А (здесь A1,... An - собственные значения матрицы А) неравенством
P(A) < \\А\\.
71.52. Показать, что для любой матричной нормы ||А|| диагональной матрицы А = diag(Ax,..., An) имеет место неравенство \\А\\ > max |А*|.
l<fc<n
71.53. Показать, что если матрица А нормальна, то
P(A) = \\А\\Е.
71.54. Привести пример матрицы А, удовлетворяющей строгому неравенству р(А) < \\А\\ для каждой матричной нормы || • ||.
71.55. Указать круг на комплексной плоскости, который содержит все собственные значения матрицы
-1 0 1 + 2г О 2 1 + і 1 + 2і 1 + г О
196
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.56. Доказать, что все собственные значения матрицы
