Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
ехр(А + В) = ехр(Л) • ехр(Б).
71.79. Показать, что если В = S'1 AS, то выполнено соотношение ехр(Б) = .S-1 exp(j4)S. Вывести из этого соотношения, что матрица ехр(А) всегда невырождена и выполнено равенство
det[exp(A)] = exp(tr А).
71.80. Доказать, что для любой унитарной матрицы U существует такая эрмитова матрица Н, что
C/ = exp(t#).
71.81. Выяснить, как можно было бы определить функции cos(A) и sin(A) и для каких матриц А это возможно.
71.82. Показать, что для любой матрицы А Є Cnxn выполнено равенство
cos(A) + i&m(A) = ехр(гА).
71.83. С помощью равенства предыдущей задачи показать,
что
[cos(A)]2 + [sin(A)]2 - /.
71.84. Доказать, что матрица А Є Cnxn обратима, если существует такая мультипликативная матричная норма || • ||, что ||/ — А\\ < 1. Показать, что в этом случае выполнено равенство
OO
А"1 = 2(7-А)».
Jk=O
200
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.85. Доказать, что если || • || - мультипликативная матричная норма и Il А Il < 1, то матрица 1-А обратима и
OO
(1-А)-' = ^>*.
Jk=O
71.86. Пользуясь результатом предыдущей задачи, вычислить матрицу, обратную к матрице В, если:
ъ) В —
71.87. Пусть Il • У - мультипликативная матричная норма в СпХп и матрица А Є Cnxn такова, что для нее существует матрица В Є Cnxn такая, что \\ВА — I\\ < 1. Показать, что обе матрицы А и В обратимы.
71.88. Пусть мультипликативная матричная норма ||-|| обладает свойством: ||/|| = 1. Доказать, что для матрицы А Є Cnxn, такой, что Il ЛIl < 1, справедливы неравенства
" 1 -2 Г ' -і 2 3' "2 0 4"
0 1 3 ;б)в = 0 1 2 ;в)В = 0 1 -1
0 0 1 0 0 -1 0 0 3
1 +
< WV-A)-1W <
1
1-МИ'
71.89. Доказать, что если || • || - мультипликативная матричная норма и матрица А Є CnXn, такова, что J|A|| < 1, то справедливы неравенства
+ PII
< 11(J-^)-1II <
1
71.90. Пусть А, В Є Cnxn, причем матрица А обратима, а матрица А + В вырождена. Показать, что справедливо неравенство ||В|| > 1/ЦЛ-1 И с любой мультипликативная матричной нормой И • И.
71.91. Пусть А Є Cnxn и выполнены условия диагонального преобладания:
Wk\ > ]T]|a*j|i к = 1,п.
зфк
Доказать, что матрица А обратима.
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах201
71.92. Доказать, что если матрица А = (akj) Є Enxn нормальна, то выполнено неравенство
\\А\\2 > і п
к J=I
Сравнить этот результат с неравенством задачи 62.61.
71.93. Пусть А - матрица порядка п с собственными значениями A1,..., An. Доказать следующее неравенство Шура:
к=1
71.94. Пусть в условиях предыдущей задачи ai,...,an и д,..., /Зп суть действительные и мнимые части собственных значений Ai,..., An. Доказать, что:
а) 4^2<*1<\\А + АН\\Ъ; б) ft < \\А - Аи\
к=1 к=1
71.95. Доказать, что равенство в неравенстве Шура из задачи 71.93 достигается тогда и только тогда, когда А - нормальная матрица. Это же верно для обоих соотношений предыдущей задачи.
71.96. Пусть А - матрица порядка п с собственными значениями A1,..., An и P - произвольная невырожденная матрица. Доказать, что
М\\Р~1АР\\е = ІіМ-
к = 1
Для каких матриц А указанная нижняя грань достигается?
71.97. Используя задачу 71.91, доказать, что из нормальности матриц A1 В и AB вытекает нормальность матрицы BA.
71.98. Пусть A1,..., An - собственные значения, а ^1,..., рп -сингулярные числа матрицы А. Доказать, что
|Ai|+ ... + |An| <pi + ...+p„.
71.99. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что для всякой матрицы А порядка п выполнено неравенство
EiA.i< ? кі.
к=1 к, J = I
202
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.100. Пусть /9а - минимальное сингулярное число квадратной матрицы А порядка п. Доказать, что расстояние (по спектральной норме) от матрицы А до множества всех вырожденных матриц равно рп.
71.101. Найти наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы /(#1,..., Xn) на единичной сфере х\ +... + Xn = 1, если:
а) / — xl + 4#з + 2xiX2 4- ^x1X3 4- 4ж2ж3 (n = 3);
б) / = 3x1 4- х\ 4- Ъх\ 4- Зж4 4- 4(X1X2 4- ЖіЖ3 4- X1X4) 4- 6(ж2ж3 + ж2ж4) 4- 2х3х4 (п = 4);
в) / = —2я?і - 4ж2 -Х3-Ж4 + 6(жіЖ2 4- ж2ж3 4- ж2ж4) 4- 4{X1X3 + X1X4) 4- 2х3х4 (n = 4).
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения
Рассмотрим проблему решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения свойств линейного оператора.
Пусть V, W - евклидовы (унитарные) пространства, А Є C(V, W)} и Є W. Уравнение
Az = U (72.1)
называется линейным операторным уравнением, вектор и - правой частью, вектор z - решением. Очевидно, в матричной записи операторное уравнение превращается в систему линейных алгебраических уравнений и, следовательно, все свойства систем уравнений можно переносить на операторные уравнения и наоборот. Однородное уравнение
A* W = 0 (72.2)
называется сопряженным к уравнению (72.1).
Теорема 72.1 (альтернатива Фредгольма). Либо операторное уравнение (72.1) имеет решение при любой правой части и Є W, либо сопряженное к нему уравнение (72.2) имеет нетривиальное решение.
Альтернатива Фредгольма для оператора А, действующего в одном пространстве V, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом и Є V, либо сопряженное к нему уравнение имеет нетривиальное решение.
