Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
" 1 -2 3 4 "
2 1 -1 0
1 -2 0 1
1 1 2 -1
лежат в круге комплексной плоскости IzI < 6.
71.57. Доказать, что наибольшее и наименьшее собственные значения Ai и A4 симметрической матрицы
' 6 2 -3 0 ' 2 9 5 1 -3 5 13 -2 0 1 -2 20 _ удовлетворяют неравенствам
20 < A1 < 23, 0 < A4 < 6.
71.58. Доказать, что все собственные значения стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы.
71.59. Доказать, что собственные значения трехдиагональ-ной матрицы
А =
' CL1 ь2 0 . . 0 0 "
C2 ь3 . 0 0
0 сз Ci3 . 0 0
0 0 0 . • On-I К
. 0 0 0 . • Cn ап _
удовлетворяют неравенству
|А| < max(|afc| + |Ьл+1| + ск), C1 = Ьп+1 = 0.
к
71.60. Пусть А Є Спхп и задано число є > 0. Доказать, что существует по крайней мере одна матричная норма || • ||, для которой имеют место оценки р(А) < \\А\\ < р(А) + е. Иными словами,
p(A) = in?\\A\\,
где точная нижняя грань берется по всевозможным матричным нормам в Спхп.
71.61. Показать, что
p(^) = inf||T-MT||2,
где точная нижняя грань берется по всевозможным невырожденным матрицам Т.
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!97
71.62. Показать, что при п > 2 спектральный радиус р(А) не является матричной нормой в Спхп, поскольку:
а) ЗА ф О: р{А) = 0;
б) ЗА, В Є Cnxn: р(А + В)> р(А) + р(В);
в) ЗА, В Є Cnxn: р(АВ) > р(А)р(В) > 0. Привести соответствующие примеры матриц А и В.
71.63. Показать, что последовательность A^ = (aff) матриц одинакового размера сходится по какой-либо норме к матрице А = (aij) тогда и только тогда, когда aff -> atj для всех
71.64. Показать, что пределом последовательности нормальных матриц может быть только нормальная матрица. Аналогично, последовательность унитарных матриц может сходится только к унитарной матрице, последовательность эрмитовых матриц - к эрмитовой матрице. Верно ли, что последовательность положительно определенных матриц может сходится только к положительно определенной матрице?
71.65. Пусть задана матрица А Є Cnxn. Если существует мультипликативная матричная норма || • ||, для которой \\А\\ < 1, то lim Ак = О, т.е. все элементы матрицы Ак стремятся к нулю
к—> oo
при к —> оо. /
71.66. Матрицы А, для которых Hm Ак = О, называют схо-
к—їоо
дящимися. Доказать, что матрица А сходящаяся тогда и только тогда, когда ее спектральный радиус р(А) меньше единицы.
1/2 1 0 1/2
р(А*) = [р(А)]к-
Что происходит с элементами матрицы Ак и величинами ||j4a||i, |Hfc|U ||Afc||2 npnfc^oo?
71.68. Пусть А - сходящаяся матрица и последовательность векторов х^ задана рекуррентным соотношением = Ах^к\ к = 0,1, — Показать, что эта последовательность сходится к нулевому вектору независимо от выбора начального приближения ж(0).
71.69. Пусть Il • Il - мультипликативная матричная норма в Спхп. Доказать, что для любой матрицы А Є CnXn выполнено соотношение
р(А) = lim
к—> oo
71.67. Для матрицы А =
показать, что
198
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.70. Пусть Il • Il - мультипликативная матричная норма в Спхп. Показать, что наряду с неравенством р(А) < \\А\\ выполнены неравенства
p{A)<\\Ak\\"\ к = 2,3,... Вывести отсюда и из предыдущей задачи, что
P(A) = IiIfIlAi1/*.
к>1
71.71. Доказать, что мультипликативная матричная норма Il ЛIl матрицы А совпадает с ее спектральным радиусом:
PlI = P(A)
тогда и только тогда, когда для всех к Є N выполнено равенство
\\Ак\\ = ||Л||*.
71.72. Пусть С Спхп - заданная последовательность
OO
матриц. Показать, что ряд Y А сходится к некоторой матри-
Jk=O
це в пространстве Спхп, если найдется такая матричная норма
OO
Il • Il на Спхп, что числовой ряд Y M^II сходится.
Jk=O
OO
71.73. Показать, что степенной ряд Y акАк, где А Є Cnxn,
Jk=O
сходится, если существует такая мультипликативная матричная
OO
норма Il • Il на Спхп, что числовой ряд Y Iа* 111^11* сходится или
Jk=O
хотя бы его частичные суммы образуют ограниченную последовательность.
OO
71.74. Является ли сходимость числового ряда Y Iа* 111-^11*
Jk=O оо
необходимым условием сходимости степенного ряда Y акАкг!
Jk=O
71.75. Пусть функция f(z) определена степенным рядом
оо
f(z) = Z) aJk^* с радиусом сходимости R > 0, и пусть || • || -
Jk=O
мультипликативная матричная норма на Спхп. Показать, что матричная функция
ДА) = Х>А* (71.2)
Jk=O
471X71
корректно определена для всех матриц А Є Cnxn, таких, что < R. В более общей формулировке: показать, что равенство
§71. Лилейные операторы в нормированных пространствах!99
(71.2) корректно определяет матричную функцию f(A) для всех тех матриц А Є Cnxn, у которых спектральный радиус р(А) удовлетворяет условию р(А) < R.
71.76. Доказать, что если матрица А диагонализуема и. А — S'1 AS, Л = diag(Ab ..., An), то выполнено равенство
f(A) = S-1 /¦(A)S1 причем /(Л) = diag(/(Ai),..., / (An)).
71.77. Показать, что матричная экспонента, задаваемая степенным рядом
OO j
Jk=O
корректно определена для каждой матрицы А Є CnXn.
71.78. Доказать, что для любых перестановочных матриц А и ? выполнено равенство:
