Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 70

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 87 >> Следующая

72.20. Показать, что множество всех псевдорешений уравнения Az = и есть многообразие, направляющее подпространство
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 209
которого - ядро кег А. Это многообразие является подпространством тогда и только тогда, когда и принадлежит ядру кег Л* сопряженного оператора А*.
72.21. Показать, что нормальное псевдорешение уравнения Az = и можно определить как псевдорешение этого уравнения, ортогональное к ядру оператора А, или, что все равно, как псевдорешение, принадлежащее образу сопряженного оператора А*.
72.22. Пусть V - оператор дифференцирования в пространстве многочленов Mn со стандартным скалярным произведением, g(t) - заданный многочлен из Mn. Найти все псевдорешения и нормальное псевдорешение уравнения Vf = д.
72.23. Как связаны между собой псевдорешения и нормальные псевдорешения уравнения Az = и и уравнений: a) OtAz — щ б) Az = ащ в) OtAz — оси, где а - число, отличное от нуля?
72.24. Как связаны между собой нормальные псевдорешения уравнения Az = и и уравнений: a) VAz = Vn; б) AUz = и? Здесь U и V - унитарные операторы.
72.25. Пусть А - нормальный оператор и пусть известен ортонормированный базис еь ..., еп, составленный из собственных векторов этого оператора. Как найти псевдорешение и нормальное псевдорешение уравнения Az = ul
72.26. Пусть А - оператор ранга г, действующий из п-мерного пространства V в га-мерное пространство W. Известен ортонормированный базис ех,..., еп из собственных векторов оператора А* А и соответствующие собственные значения р\,..., р2п (pi > 0, і = 1, г). Доказать, что:
а) псевдорешения уравнения Az = и описываются формулой
Z+ = + ...+ ?rer + 7Г+!ег+і + ... + 7nen,
где
_ (и,Ae1) _ (А*щєі) ._ — (АеиАеі) pt
a 7r+i,..., 7n ~ произвольные числа;
б) нормальное псевдорешение есть вектор
Zo = ?iei + ... + ?rer.
72.27. Для оператора А предыдущей задачи известен ортонормированный базис /i,..., /ш из собственных векторов оператора AA* (при этом pi > 0, і = 1,г). Доказать, что нормальное
210
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
псевдорешение уравнения Az = и можно найти по формуле
Z0 = tlA'fl +...+ trA'fr,
где
г = 1, г.
Найти нормальные псевдорешения следующих систем линейных уравнений, считая, что скалярные произведения в соответствующих арифметических пространствах введены стандартным образом.
72.28
72.30.
72.32.
72.34.
72.35.
72.37.
29^1 H- 37х2 H- 46х3 = 0, 5Ix1 - 17х2 H- 73х3 = 0.
72.31.
72.33.
X1 H- X2 + X3 + X4 = 2, #1 + #2 H- #з + #4 = 3, Si + #2 + ж3 H- ж4 = 4. —Xi — 2х2 = 1, 2я?і + 4х2 = 0, X1 H- 2х2 = 0, 3X1 H- 6х2 = 0. 2X1 — X2 = 1,
-X1 H- (1 H- е)х2 H- X3 = 0, [еф 0), X2 H- 2х3 = 1. 2X1 — х2 = 1,
-X1 H-X2 H-X3 = 0, 72.36.
X2 H-(2 H-ф3 = 1, (є^0).
27X1 - 55х2 = 1, 72.29. ( -13X1 +27я?2 = 1, -14X1 Н-28х2 = 1. X1 H- X2 = 2, X1 — X2 = 0, 2X1 H- X2 = 2.
2X1 — X2 = 1, -X1 H- X2 H- X3 = 0, X2 H- 2х3 = 1.
2X1 — Зх2 = —1, X1 — 2х2 = —1, Si H- X3 = 1.
72.38. <
2X1 — Зх2 = — 1, -X1 H- X2 = О, X1 H- X2 = 1. 5X1 — 3x4 = 2, 4х2 H- 2х3 H- 2х5 = 3, 2х2 + 2х3 = 0, —3X1 H- Х4 = —2, 2х2 H- 2х5 = 3.
72.39. Найти нормальное псевдорешение в пространстве M3 со стандартным скалярным произведением уравнения:
a) f(t - 1) + /(1 - *) = *; б) f(t - 1) - /(1 -t) = l.
72.40. Доказать, что для любой квадратной матрицы А порядка п нормальным псевдорешением уравнения AX — XA = I
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 211
в пространстве Спхп со стандартным скалярным произведением является нулевая матрица.
72.41, Найти функцию /, наименее уклоняющуюся от заданных точек Mj, г = l,fc, в смысле среднего квадратического уклонения, если:
а) У — f(x) ~ линейная функция: /(ж) = a2x + ах и точки заданы координатами: Mi(1,1), M2(0,2), M3(2,0), M4(0,1), М5(0,-1);
б) у = /(ж) - квадратичная функция: f(x) = а3ж2 4- а2х + ui и точки заданы координатами: Mi(0,0), M2(—1,0), M3(1,2), М4(2,1);
в) У — f(x) ~ квадратичная функция: f(x) = х2 + а2х 4- и точки заданы координатами: Mi(0,1), M2(1,1), М3(2,1);
г) z = /(ж, у) - линейная функция: /(ж, у) = агх + а2у 4- а3 и точки заданы координатами: Mx(1,1,1), M2(1,2,2), М3(2,1,0), M4(0,1,1);
д) z = /(ж, у) - линейная функция: /(ж, у) = ахж 4- а2у 4- а3 и точки заданы координатами: Mi(0,0,0), M2(1,1,1), M3(1,0,1), M4(0,1,1), M5(1,1,0).
Каково будет наименьшее среднее квадратическое отклонение в каждом из этих случаев?
Ответы и указания
§57
57.1. Оператор имеет одно собственное значение: а) Л = 0; б) Л = 1; в) Л = а, если скалярный оператор равен аХ. Собственными векторами являются все ненулевые векторы.
к_ 0 \ А В ] л
57.2. Q ? » гДе А - диагональная матрица. 57.4. п — г.
57.6. Оператор А — XqI имеет собственные значения А* — Ao, где А* -собственные значения оператора А.
57.7. а) А2; б) А*; в) /(А). 57.8. Нет.
57.9. Указание. Рассмотреть характеристический многочлен оператора А2 - X2X. 57.11. Да.
57.14. Оператор А-1 имеет собственные значения X^1, где А* - собственные значения оператора А.
57.16. Да.
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed