Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
57.60. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые векторы (е*і,..., an)T:--К . • • H--- = 0, и A2 = п, собственными векторами
/І1 /in
являются векторы /9(/11,. •. ,Mn )Т, /9 Ф 0.
57.61. a) Ai = а — 6, A2 = а + 6(п — 1), соответствующие собственные векторы те же, что и в задаче 57.59;
б) пусть q = y/a/b, тогда A* = ——, где єk = cos(2kn/n) +
1 - qtk
isin(2&7r/n), к = 0, п — 1. Собственные векторы, отвечающие А*, имеют вид a(l,pfc,pfc,... ,р2_1)т, где pk = (b + А*)/(а + A*), a ^ 0.
57.62. Ai = 0, А2,з = \ [а ± ^/a2 + 4(6ici + ... + 6„_ic„_i].
57.63. Например, (1,1,..., 1)т.
57.65. Если п = 2к, то ±у/аіап, +^a2QJn-I, • • + ^аьаь+і; если п = 2к + 1, то +ytoian, +^a2On-I,..., ±^/а*аь+2, c*fc+i.
57.66. При n = 4А; + 1: Ai = у/п кратности к + 1, A2 = — ^/п кратности к, Аз,4 = ±\/га кратностей к. При n = 4А; + 3: Ai,2 = ±у/п кратностей к + 1, Аз = >/ш кратности к + 1, A4 = —у/пі кратности Указание. Рассмотреть квадрат данной матрицы.
57.67. а) (-А)п — (-1)п; б) собственному значению A* = cos(2kn/n) + isin(2A;7r/n) отвечают собственные векторы a(l, А*, А2,,..., А?_1)т, а ф О (к = 0,п- 1).
57.68. Аь = /(є*), где /(х) = ai +a2x + ... +апхп_1, є* = cos(2/c7r/n) + isin(2A;7r/n), /с = 0,n - 1. Указание. Воспользоваться задачей 43.27.
57.69. а) A* = 2zcos(for/(n+ I)), к = TTn; б) \к = a + 2bcos(kir/(n + I)), А; = 1, п.
Ответы и указания к §57
215
57.70. Указание, а) Воспользоваться симметричностью матрицы А] б) воспользоваться рекуррентным соотношением для Dn = \А — XI \: Dn = (an — A)Dn-I — bn_iDn-2 и показать, что если Dn = О, то Dn-I ф 0.
57.71. Указание. Рекуррентное соотношение
Dk(X) = (о* - \)Dk-i(\) - bk-ick-iDk-2(X) для Dk(X) = det(Ak — XI) показывает, что Dn(X) зависит не от самих чисел bk, ckl а лишь от их произведений. Поэтому, заменив в An элементы Ьк и Ck на \/ЬкСк, получим симметрическую матрицу An с тем же характеристическим многочленом.
57.72. а) Нет; б) нет. Указание. Рассмотреть след ц ранг данных матриц.
57.73. а) А* = к — 1, = 1, n + 1, соответствующие собственные векторы равны fk(t) = atk~l, q/0;
б) при п = 2к: Ai,2 = ±1, соответствующие собственные векторы равны ai(l+*n) + a2(t + *n-1) + ... + afc(**-1+*fc+1) + afc+i*fc и ai(l - Г) + a2(*-t71'1) + ... + CXAs(J*"1 - при п = 2к + 1: Ai,2 = ±1, соответствующие собственные векторы равны ai(l ±tn) + ct2(t±tn~1) +.. . + ak(tk ±tk+l) (при условии, что не все коэффициенты QJj равны нулю);
в) Ai = 1, собственные векторы равны f(t) = a, а ф 0;
г) Xk = 1 Ik1 к = l,n + 1, соответствующие собственные векторы равны fk(t) = atk~\ афО; _
д) Xk = 1/(& + 1), к = 1,п + 1, соответствующие собственные векторы равны fk(t) = atk~l, a ^ 0;
е) Ai = 0, собственные векторы равны f(t) = a, a ^ 0;
ж) Ai = 0, собственные векторы равны ^0<2A;<n Q2fc(* - а)2*, где не все коэффициенты с*2к равны нулю;
з) Ai = 1, собственными векторами являются все ненулевые многочлены из Мк.
57.77. Симметрические и кососимметрические ненулевые матрицы.
57.78. б) Ненулевые матрицы вида [xi Х2 ... хп], где Xi - либо один из собственных вектор-столбцов ai,... ,afc, либо нулевой столбец.
57.79. б) Собственному значению А соответствуют ненулевые матрицы вида [xi Х2 ... хп]т 1 где Xi - либо один из собственных вектор-столбцов матрицы Вг, отвечающих А, либо нулевой столбец.
57.80. Afc/ij, = l,7i. Указание. Учесть, что матрицы A и В подобны диагональным матрицам.
57.81. а) А/і; б) А + /і.
57.82. а) AfcAj; б) А*/А/; в) А* — А/ (А;,/ = 1,п). Указание. См. задачу 52.55. _
57.83. Afc/i*; б) A* + /if, = 1,тг. Указание. См. задачу 52.55.
57.84. 1) Пусть A невырождена. Тогда если х - собственный вектор матрицы AB1 то А~1х - собственный вектор матрицы BA. 2) Нет, неверно.
57.85. Указание. Если одна из матриц A или В невырождена, то воспользоваться предыдущей задачей. Если обе матрицы A и В вырождены, то выбрать последовательность є к —> 0 так, чтобы матрицы Ak = А — є kl были невырождены, и применить предельный переход.
57.86. Указание. Использовать равенство
216
Ответы и указания к §58
[
AB - XIn О
А 1 Г 1т О I _ Г 1т О ] Г -AJn j [ б /„ j - [ б /„ j [
О
BA
А 1
а) б)
57.87. Указание. Использовать равенства: \ I I] \ A-XI В 1 Г А Л-В-XI О 1 Г / / 1 0/JL В A-XI \ - [ В A-B-XIJ [О IJ;
I U] \ A-XI В 1 Г А-ІВ-ХІ О ] \ I U] О / JL А — Л/ J — L -В А + ІВ-ХІ \[0 /J;
А2+ Б2 BA-AB
AB-BA А2+ В2
57.88. Указание. Достаточно рассмотреть случай, когда главная подматрица расположена в левом верхнем углу. В этом случае показать, что собственному значению Л матрицы А соответствует хотя бы один собственный вектор вида (xij... , xm, 0,..., 0)т.
57.89. Указание. Показать, что найдется A G Е, при котором матрицы А ± XI невырождены.
57.90. Указание. Рассмотреть матрицы В вида А — єі. 57.93. 1) 1 + (-1)п; 2) 0; 3) у/п при п = Ak + 1, іу/п при п = 4k + 3;
4)
•(п-1)(3п-
2)/2пп/2г
Указание. Использовать задачи 57.66 и 57.67.
§58
-1,3,1};
58.2. а) {2,1}, {1,3}; б) {-2,3}, {1,1}; в) {3,1,0}, {0,0,1}, {-г) {1,1,1}, {2,-1,0}, {1,0,1}.
