Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Фундаментальную систему решений соответствующей приведенной однородной системы
Г 1 110 [ 1 -1 0 0
составляет единственный вектор ei = (1,1,— 2)т. Поэтому нормальное решение системы (72.6) находится из системы
Г 6 4 5 0 1
4 6 5 0
5 5 5 0
" 6 4 5 15 1 " 1 1 1 3 "
4 6 5 15 0 2 1 3
5 5 5 15 —> 0 0 1 1
1 1 -2 0 1 1 -2 0
=>• Xi = Х2 = Хз = 1.
Таким образом, вектор zJ = (1,1,1)т - нормальное псевдорешение исходной системы. ¦
Понятие псевдорешения можно эффективно использовать в так называемой задаче о наименьших квадратах.
206
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Назовем средним квадратическим отклонением функции у = f(x) от заданной системы точек Mi (xi, yi),..., M\(хук) величину
S =
гЕ("-л*>)а
1 V2
(72.7)
Задача о наименьших квадратах состоит в нахождении функции у = f(x) из определенного класса, для которой величина среднего квадратиче-ского отклонения (72.7) минимальна3.
Пример 72.5. Найти линейную функцию f(x) = агх + Oi, наименее отклоняющуюся от точек Mi(0,0), Мг( —1,0), Мз(1,2), М4(2,1) в смысле среднего квадратического отклонения.
Решение. Составим векторы / = (/(хі), /(яг), /(^з), j(x\))T значений искомой линейной функции f(x) в заданных точках и 6 = (yi,уг,уз,Уа)т ординат заданных точек:
/ = (ai,ai -a2,ai +02,01 + 2a2)T, b = (0,0,2,1)т. Величина среднего квадратического отклонения (72.7) в данном случае равна <5 = ||6 — /||е/2, где || • \\е - обычная евклидова норма в пространстве Ш4. Величина S будет минимальна тогда и только тогда, когда минимальна евклидова норма разности векторов 6 и /. Очевидно, что величина ||6 — f\\2E является функционалом невязки для системы
ai = О,
Ol — 0,2 = О, Ol + O2 = 2, Oi + 202 = 1,
(72.8)
и поэтому коэффициенты oi,02 искомой линейной функции f(x) являются псевдорешением системы (72.8).
Составим для системы (72.8) нормальную систему. Так как
" 1 0 1 Г 0 1
A = 1 1 -1 1 , ь = 0 2
1 2 1
АТА
-[i I]
АТЬ =
то нормальная система имеет вид
АТА
АТЬ
f 4oi + X 2ai +
2о2 = 3, 6a2 = 4.
Отсюда ai = аг = 1/2, и искомая линейная функция имеет вид
Так как / = (1/2,0, —1,1/2)т, то среднее квадратическое отклонение
найденной функции от точек Mi, М2, Мз, М\ равно Sn
ч/б/4.
3Аналогичную задачу можно ставить и для функций у = /(xi,..., ?„) любого числа переменных.
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 207
ЗАДАЧИ
Найти нормальные решения следующих систем. 5X1 + 12х2 - ж4 -f 17х6 = 0,
72.1. { 3Ix1 4- 15х3 - 1Ix4 - Зх5 = О, 17х2 - X3 4- 7х5 - 23х6 = 0. Ъх\ — Зх2 — X3 = 2,
72.2. 4 -X1 4- ж2 4- ж3 = О, —X1 4- Зх2 + 5#з = 2.
72 З і Xl 3^2 ~ Жз = 3' 72 4 J жі ~ ж2 - #з + #4 = 4, \ X1 - х2 4- 2х3 = 8. ' ' \ ж2-«з = 0.
72 5 і 2Жі + ж2 + #з + #4 = 5, \ X1 4- ж2 = 10.
79 ft j xi - 2ж2 + Зх3 - 4х4 = 10,
\ -3X1 4- 6х2 - 9х3 4- 12х4 = -30.
Исследовать на экстремум функцию у = f (X11... , xn)k при выполнении указанных условий.
{Xi 4- X2 4- ж3 4- ж4 = 2, X1 4- 2х2 4- Зх3 4- 4х4 = 0, X1 — X2 4- 2хз = 2х4 = 3.
72.8. у = Х\ + Х1 + xl если { ?| ~ ?+Д=Д
72.9. 2/ = 4х2 4- xl 4- 9х2, если 4X1 - X2 4- X3 = 23.
- Зх2 4- 2х3 - 4х4 = 3,
Хз 4- х4 = 5.
72.10. у = -х2-9х2~Хз-4х2, если | ^ J*'
72.11. Найти максимальное значение выражения ^x2. при
k=i
выполнении каждого из следующих условий:
п п п
^)^2хк = а; б) ^2 кхк = а; в) Qkxk = a (я Ф ^1)-
к=1 к=1 к=1
При каких значениях переменных X1,... ,Xn этот максимум достигается?
п
72.12. Найти максимальное значение выражения ^ кх\ при
к=1
п
выполнении условия ^2 кхк — а- При каких значениях перемен-
к=1
208
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
ных Xi,..., Xn этот максимум достигается:
72.13. Доказать, что в евклидовом (унитарном) пространстве V система уравнений
(ж,еі) = au...,(x,ek) = ak (72.9)
имеет решение при любых числах аь ..., ак тогда и только тогда , когда векторы Єї,..., ек линейно независимы.
72.14. Доказать, что система уравнений (72.9) разрешима тогда и только тогда, когда имеет место импликация:
к к
V?u...,?k: Y,?iei = e 5>iA = 0.
г=1 г=1
72.15. Доказать, что система уравнений
Z1(Z) = c*i, fk{x) = ак,
где fi,..., fk - линейные функционалы в линейном пространстве V', имеет решение при любых числах аь ..., ак тогда и только тогда, когда функционалы Z1,..., Д линейно независимы.
72.16. Пусть Ai, A2- матрицы размеров ШіХпит2хп,а 6Ь 62 - вектор-столбцы высот mi и Tn2 соответственно. Доказать, что система уравнений
AxX = hi, A2X = Ь2 имеет решение при любых правых частях тогда и только тогда, когда равенство A[y = A2Z возможно лишь для нулевых вектор-столбцов у и z высот mi и Vn2 соответственно.
72.17. Для уравнения [х, a] = b в геометрическом пространстве V3 найти условия:
а) его разрешимости при любой правой части Ь;
б) его разрешимости для данной правой части Ь.
72.18. Найти условия разрешимости системы уравнений
[х, ai] = bi, [х, а2] = Ь2.
72.19. Пусть д - ортогональная проекция вектора и на образ im А оператора А. Доказать, что всякое псевдорешение уравнения Az = и есть прообраз вектора д.
