Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
58.6. Указание. Воспользоваться тем, что каждое собственное подпространство одномерно.
58.7. Указание. Учесть, что если D - диагональная матрица с различными диагональными элементами, то любую диагональную матрицу можно представить многочленом от D.
58.10. Указание. Рассмотреть операторы А и имеющие в неко-
тором базисе е матрицы Ае =
О ]' Ве = [ 0 1 ]
1
. О О
58.11. а,б) Нет. 58.12/ Нет. 58.13. 58.15. Нет. 58.16. Да. 58.17. Да.
Нет. 58.20. Нет. 58.21. Да. Да. 58.24. Нет. 58.25. Да. Нет. 58.28. Да. 58.29. а) Нет; б) да. а) Нет; б) нет. 58.31. а) Да, если a = П7Г, п Є 58.33. а) Нет; б) да.
58.35. а) Нет; б) нет. 58.37. а) Нет; б) да.
58.19. 58.23. 58.27. 58.30. 58.32. 58.34. 58.36. 58.38. 58.39. всех 6, с Є
58.40.
58.41. 58.42. 58.43.
О 1 О 1
Да. 58.14. 58.18. Да.
58.22. Нет. 58.26. Да.
Нет.
а) Нет; б) да. а) Нет; б) нет. а) Нет; б) да. а) Нет; б) да. 1) Ai = —с, Л2 = — Ь — с, Xk = к (к — 1) — Ьк — с, к
7A б) да.
3,п. 2) При
Г /п-г О
[О -Ir diag(l,e,...,e
diag(x + (n - 1)у, X - у,..., X - у). diag(0,... ,0,п). 58.44. diag(n — 1, п - 3,.
, где г = [п/2]. х), где є = cos(27r/n) + 2sin(27r/n).
,1-n).
Ответы и указания к §58
217
58.45. diag 2 cos
п+ 1
, 2 cos
58.46. diag ( 2icos 58.47.
, 2icos
2тг n + 1 2тг
,..., 2 cos
П7Г \
n + 1 У'
., 2г cos
п + Г n + 1 n + 1у
a) diag(2/m, -2/m) при n = 2m, diag(2/m_i, 1, -2/m_i) при n = 2m — 1; б) матрица не диагонализуема; в) diag(2'/m, — ilm) при п = 2m, diag(z7m_i, 1, -ilm-i) при n = 2m - 1.
58.48. Элементы а* и an_fc+i должны либо оба быть отличными от нуля, либо оба обращаться в нуль (k = 1, п).
110 0 0 0 2 2 0 0 VE -VE 2-2 0 0 Матрица не имеет простую структуру. "1 0 1 1 ~
58.50. T =
, A = diag(2,-2,v/6,-v/6).
58.51.
58.52. T =
58.53. 58.54. 58.55.
58.56. T
A = diag(l,l,2,2).
0 2 10 0-10 2
0 0 0 -1 Матрица не имеет простую структуру. Матрица не имеет простую структуру. Матрица не имеет простую структуру.
1 1 1 0 2 , A = diag(l,2,3).
58.57. T =
58.58.
58.59.
58.60.
58.61. 58.63. 58.65.
T =
2
1 2 J 9 + 3n/3 3-\/3
3
3
2 + 2i 5
9-Зл/З 3 +л/3 3
3
2-2г 5
, A = diag(2,v/3,-v/3).
, A = diag(l,2 + 3i,2-3i)-
Матрица не имеет простую структуру. 1 1 1
A = diag(l,2,2).
T =
1 1 о 1 0 -3
Матрица не имеет простую структуру
хту ф 0.
Показать, что ранг сопровождающей матри-каждого А*, к = 1,п, имеют вид
Нет. Указание, цы не меньше п — 1.
58.69. Собственные векторы для
a(\nk-\\nk-2,...,\k,l)T,a?0.
58.70. Указание. Достаточно рассмотреть случай, когда a - собственное значение матрицы А. Пусть его алгебраическая кратность равна к. Тогда rg(j4 — al) = п — к. Так как характеристический многочлен матрицы A — al имеет fc-кратный корень, равный нулю, то в нем коэффициент при А* отличен от нуля. Следовательно, среди главных миноров порядка п — к есть ненулевой.
58.72. tr В = (144 + 629)/5. У казани е. Воспользоваться задачей 58.5.
58.73.
3 • 2100 - 2 - З1
-3(3iUU - 2100)
2(з100 - 2200) ?ioi _ 2іоі
218
Ответы и указания к §59
58.74.
4е - 3 2 - 2е 1 бе - 6 4 - Зе J
58.75.
-3(3100 - 2100)
9Ю0 _ 9 . 3Ю0
Указание. Воспользо-
ваться задачей 9.696.
58.76. а) 4; б) -8.
58.77. а) При a > -5/4; б) при а ф -5/4; в) при a = (k2 - 5)/4,
59.8. Указание. Взять в качестве первого столбца матрицы преобразования собственный вектор-столбец матрицы А.
59.9. Если ei,...,en - базис из собственных векторов оператора Л, то ненулевые инвариантные подпространства натянуты на всевозможные подсистемы eij,..., Єік. Число инвариантных подпространств равно 2П.
59.10. Пусть V является прямой суммой собственных подпространств оператора Л: V = Wi 0...0 Wp. Тогда любое инвариантное подпространство L имеет вид L = Li 0 ... 0 Lp, где Li - некоторое подпространство в Wi.
59.11. а) Все подпространства; б,в) все подпространства вида L = Mi 0М2, где Mi, М2 - подпространства в Li, L2 соответственно; г) нулевое подпространство и W, д) нулевое подпространство, ?(а), ?х(а) и V3; е) все подпространства вида L = Mi 0 М2, где Mi, М2 - подпространства в подпространствах симметрических и кососимметрических матриц соответственно; ж) подпространства Mk, к = 0,п, и нулевое подпространство; з,и) линейная оболочка любого множества одночленов из Mn.
59.12. Кроме тривиальных инвариантных подпространств {0} и V имеются следующие инвариантные подпространства: а)?((2,—1)т),?((1,-1)т); б) ?((-1,2)т); в) ?(ojb), ?(а*,а*), 1 < г < к < 3, где oi = (0,1,1)т, а2 = (1,-1,-1)т, а3 = (1,-1,-2)т; г) ?(аі), ?(а3), ?(аі,а2), ?(оі,а3), где аі = (0,1,-1)т, u2 = (1,-1,0)т, а3 = (3,4, —2)т; д) любое подпространство в ?(01,02), где Oi = (1,1,0)т, аг = (2,1,—2)т, и любое подпространство, содержащее ?(02); е) любое подпространство в ?(01,02), где Oi = (1,1,0)т, аг = (1,0, — 1)т, и любое подпространство, содержащее ?(аз), где а3 = (2,2,—1)т; ж) ?(oi), где Oi = (1,1,1)т, любое подпространство в ?(о2,а3), где аг = (1,—1,0)т, а3 = (0,1, — 1)т, подпространства вида ?(oi,a), где a - любой вектор из ?(02,03); з) ?(ai), где ai = (1,2,3)т, любое подпространство в ?(аг,а3), где 02 = (2,-1,0)т, аз = (3,0,-1)т, подпространства вида ?(ai,a), где a - любой вектор из ?(a2,a3).
