Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
60.88.
Г 1 1 0 0 01
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
. 0 0 0 0 -1 .
Г 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 -1 1
_ 0 0 0 0 -1
г2 0 0 0 0 0-1
0 2 0 0 0 0
0 0 -4 1 0 0
0 0 0 -4 1 0
0 0 0 0 -4 0
Lo 0 0 0 0 - -4.
60.85.
60.87.
5 1 0 0 0 0 -
0 5 0 0 0 0
0 0 5 1 0 0
0 0 0 5 0 0
0 0 0 0 13 0
- 0 0 0 0 0 19 .
1 1 0 0 0 01
0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
- 0 0 0 0 0 1 .
1 1 0 0 0 0 -і
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
89. 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 -
Ответы и указания к §60
225
¦ ak cW~2 cW~3
0 ak cW~l cW-2 er2«*""+2
60.90. 0 0 cW-1 • Cn-3ak-n+3
0 0 0 0 a
при к < n — 1 здесь следует положить Cj? = 1 и Ск = 0 для к < s.
60.91. Указание. Положить А = XI + Я и в равенстве f(x) = /(Л) +
(х — X) H--(х — А) +АН--J-L (х — X)3, где s - степень многочлена
1! 2! 5!
/(х), взять х = А.
60.92. Jn(а2), где п - порядок жордановой клетки.
60.93. Если А = Jn(O), то жорданова форма матрицы А2 состоит из двух клеток: Jn/2(0), J„/2(0) при четном п и J(n_1)/2(0), J(n+i)/2(0) при нечетном п.
60.94. Каждая клетка заменится на транспонированную, а сами клетки будут стоять на диагонали в обратном порядке.
60.95. Диагональные элементы Ai,..., An в жордановой форме оператора А заменятся на: a) Ai — Ao,..., An — Ao; б) 1/Ai,..., 1/An.
60.96. Жорданова форма содержит две клетки: JnZ2(Oi)1 Jn/2(a) при четном п и J(n_!)/2(a), J(n+i)/2(o:) при нечетном п.
60.97. Указание. Использовать задачу 60.91.
60.100. Указание. Учесть, что для жордановой формы Aj оператора А выполнено соотношение А2 = I.
60.101. См. указание к предыдущей задаче.
60.102. Диагональная матрица с диагональными элементами, равными нулю или единице,
60.103. Jn+i(0).
60.104. Жордановы формы всех операторов совпадают и состоят из трех клеток Ja(O).
60.105. Указание. Учесть, что в характеристическом многочлене оператора А свободный член отличен от нуля, и применить теорему Гамильтона-Кэли.
60.106. Указание. Воспользоваться задачей 60.91.
60.107. Жорданова форма - квазидиагональная матрица с диагональными клетками первого порядка, равными 0 и 1, и второго порядка, равными
J2(O).
60.108. Указание. Воспользоваться задачей 60.106.
60.110. Никакие две из матриц A1 В и С не являются подобными.
60.111. А и С подобны между собой и не подобны В.
60.112. А и В подобны между собой и не подобны С.
60.114. Если А - собственное значение оператора A1 отличное от ±1, то 1/А - также собственное значение, причем к обоим относится одинаковое число жордановых клеток с соответственно равными порядками.
60.116. Указание. Пусть Ai,...,А* - различные собственные значения матрицы А алгебраических кратностей ті,...,т*. Тогда Ьт(Ар) =
mi A^ + ... + 77ifcA? = 0, р = 1, к. Рассмотреть систему этих соотношений относительно переменных mi,. . . , Шк.
60.119. Напишем квазидиагональную матрицу порядка mn, у которой на диагонали тп раз повторен матрица J. Тогда жорданова форма соответственно матриц А ® В и А ® In + Im ® В получается так: а) для каждого
226
Ответы и указания к §61
собственного значения Ai матрицы A1 не равного нулю, умножаем диагональные элементы г-й клетки J на Ai; если же Ai = 0, то соответствующую клетку J заменяем нулевой матрицей; б) ко всем диагональным элементам г-й клетки J прибавляем Ai.
60.120. Если а - первообразный корень n-й степени из единицы и т — v/є, то жорданова форма будет диагональной матрицей вида diag(l + г, 1 + га, 1 + га2,..., 1 + гап_1).
§бі
к к к
61.5. а) ^(у,е,-)е,; б) у - ]Г(у,е,-)е,-; в) 2^(у,е,)е, - у;
j=i
г) у - 2^(у,е,)е,.
;=i
61.6. а) у-^(у,е,-)е,; б) у - 2 ]Г^(у, е^е,
4 6-2 6 9-3 -2 -3 1 2 3-1 1-1 1-1 11-11 1-13 1 1113
61.7. ,) -
«І
г)
1 2
2 4
1 2
-2 -4
1 '
0
0 5
1
1 -2
2 -4 1 -2
2 0-1-1
0 3 0 0
-10 2-1
-10-1 2
61.8. а)
1_ 15
-7 12 -4
12 3 -6
-4 -6 -13
4 6-2
Д)1
61.9. а) \
4
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1-111 -1111 10-2-2 0 3 0 0 -2 0 1-2 -2 0-2 1
3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1 5-3-1 0 -3 2 0 -1 -10 2 3 0-135
Є)Ї2
4 6 -2 -13
г)
0 1 1
0 1 1
1 о о
6 6 12 -6
6 41 -2 1
12 -2 38 2
-6 1 2 41
-4 2
2 -1
«>1
1 -2
2 -4
2 -4 -2
-2 -4 -2
0 0 0 1 0 0 10 0 10 0 10 0 0
е)
-1 -1 -1 3
21
10
- -15 6 12 -6 "
6 20 -2 1
12 -2 17 2
-6 1 2 20
' 1 -1 -3 -1
-1 7 3 -5
-3 3 9 3
-1 -5 3 7
' 1 2 -1 2 '
2 4 -2 4
-1 -2 1 -2
2 4 -2 4
Ответы и указания к §61
227
61.10.
в)
" 1 -1 — 1 -1 ' -5 -1 3 -1 '
-1 1 _ 1 -1 -1 1 3 -5
-1 -1 1 -1 5 -3 3 3 3
-1 -1 - 1 1 -1 -5 3 1
3 - -6 -2 0 " " -4 2-1 2
-6 - -3 0- -2 г) 1 2 - -1 -2 4
-2 0 -3 6 і 5 -1 - -2 -4 -2
0 - -2 6 3 2 4 -2 -1
61.11.
61.13.
(У, 9k)
б)2?
(У* 9k) (fk,9k)
fk - у-
Указание. Рассмотреть действие линейного функционала на произвольном ортонормированном базисе пространства V.
