Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
і(1,-1,гАТ, /3 = і(1,-1,гАт;
з) A1 = 1, A2 =---, A3 =---, /1 = -^=(1,1,0) , /2 =
i(l,-l,n/2)T, /3 = 1(1,-1,-,^2)7-;
„) A1 = -1, A2 = І+І^, A3 = = 1,1,-V^- if,
h = —. 1 (l + V2-i(s/7 + \/U),3 + 2s/2 + i\/7,2V2f, /3 = /2; 2^7(2 + n/3)
к) A1 = 1, A2 = LLi, A3 = -A2, /1 = ^=(M, Of, h = \(l,-i,-V2f, /3 = i(l,-i,v/2)T;
л) A1 = -A2 = 1, A3 = -A4 =»,/i = 1,1, if, /2 = -1,1, -1)T,
Ответы и указания к § 63
233
1
(l,i,-l,-i)7'.
63.38. Подпространство L натянуто на векторы: а) (1 + v/2,1)Т; б) (2, If; в) (cos(a/2),sin(a/2)f ;г) (1,1, Of, (1,-1, 2f; д) (1,1,1, if.
63.39. Если f(t) = ao + ait + a2t2, g(t) = 60 + bit + b2t2, то (/,p) = Зао&о — 2ао&і — 2ао&2 — 2аі6о + 2аі6і + аібг — 2аг6о + агбі + 2аі&2-
63.41. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
63.42. а), в) Любой ортонормированный базис. В остальных пунктах канонические базисы и соответствующие матрицы определены неоднозначно; ими будут, например, векторы со следующими координатными столбцами и матрицы:
б)>'-2)Т'>'1)Т;["о і
г) -L(I1I1I)1-,/2
-L(l,l,-2)r,/3
:(-1,1,0)1
fl)-L(l,l,0)T,/2 = -L(l,-l,0)T,/3:
Є) -^(1,1,0)^/2 = -^(1,-1,0)^,/3
ж) -j={V2- 1,1,-1- >/2)г, - -
V7 Vl4(2 + v^)
ч/2
(0,0,-If; і
(0,0,-1)7"; і
1 ¦2 0 0
0 -1 -ч/З
2 0 ч/З -1
"3 0 0
0 1 - -2д/2
0 2n/2 1
L 2 0
0 -1 - л/З
0 >/з -1 _
1
(1 + \/2,3 + 2\/2,2\/2)Т,
-,J=(I + A-I5Of; І V4 + 2у/2 4
з) 1(1,-1,1,-lf, 1(1,1, l,lf
-4 0 0 0 З -у/7 0 у/7 З
1 (l,0,-l,0f, 4=(0,1,0,-if;
V7T
v^4
1(1,1,-l,lf, i(l,-l,l,lf, 1(-1,1, l,lf; -L(0,0,1,-if, -1(0,0,1, if, -l(-l,l,0,0f;
-10 0 0
0 10 0
0 0 0 -1
0 0 1 0
и) 1(1,1,1,-if,
diag(l, 1,1,-1);
к) -L(l,l,0,0f,
10 0 0 0-1 0 0 0 0 0 1 0 0-10
63.43. Указание. Показать, что такая матрица подобна матрице diag(cos a + і sin a, cos a — і sin a), которая, в свою очередь, подобна матрице
[cos a — sin a sin a cos a
63.44. Указание. Проанализировать спектр оператора Л.
63.45. Указание. 1. Предположить противное: существуют такие векторы е\ и Є2 (|ei| = 1), что Леї = Леї и Ae2 = Аб2+еі. Рассмотреть образ
234
Ответы и указания к §64
вектора X = Є2 — (еі,Є2)еі и прийти к противоречию. 2. Предположить противное: существует неортогональная пара векторов х и у таких, что Ax = Xx, Ay = /iy, где X ф р. Пусть число а Є С выбрано так, что Re[(A/I — 1)(ах, у)] > 0. Показать тогда, что |Л(ах + у)\2 — \ax + у\2 > 0.
63.49. Длина вектора w должна быть равна единице.
63.50. Указание. Показать, что H2 = I.
63.51. а) Простому собственному значению А = — 1 отвечают собственные векторы, коллинеарные вектору iu; собственными векторами, отвечающими собственному значению A = I, являются все ненулевые векторы, ортогональные iu; б) определитель равен единице.
63.53. w = (-sin ^,cos ^f.
63.54. Выбрать w =--——-(х — kei), где к - любое число, удовлетво-
\х — кеі\
ряющее условию \к\ =
63.55. По данной матрице А порядка п выберем, в соответствии с предыдущей задачей, матрицу Н\ так, чтобы матрица Ai = HiA имела
I к а' ~\ ~
вид Ai = од ' где ~ подматрица порядка п — 1. Строим теперь
матрицу if2 вида if2 = diag(1, Zf2)? где if2 - матрица отражения порядка
п—1, выбранная так, что в матрице if2Ai все поддиагональные элементы первого столбца равны нулю. Тогда у матрицы Н2Н1А первые два столбца совпадают со .столбцами треугольной матрицы. Продолжая таким образом, после п — 1 шагов получим верхнюю треугольную матрицу.
§64 64.2. Нет.
64.8. В унитарном пространстве это операторы умножения на действительное число. В одномерном евклидовом пространстве все линейные операторы являются симметричными.
64.9. Указание. Векторы х и у выбрать в качестве базиса пространства.
64.11. Да. Указание. Показать, что (/і,gj) = (gi,fj) Vt Ф j.
64.14. Оператор А либо равен ±Х, либо задает ортогональное отражение.
64.15. б,г) Да; а,в) нет.
64.16. в,е) Да; остальные - нет. 64.17. Да.
64.18. a) ei = -L(I1-If, е2 = ^|(М)Т; Ае = diag(0,4);
б) ei = ^=(2М)Г, е2 = -L(i,-2)T; Ае = diag(0,5);
в) ei = 1(2,2,1)т, е2 = |(2, -1, -2)т, е3 = |(1, -2, 2)т; Ае = diag(9,18,9);
г) ei = ^=(1,1,0)г, е2 = -^(1,-1,-4)г, е3 = I(2,-2,1)T; Ае =
diag(9,9,27).
64.19. UTAU = D, где:
Ответы и указания к § 65
235
a) ?> = diag(5,-l), U =
1 +г 1 + г
б) D = diag(2,8), U =
1
в) D = diag(2,4,4), U =
1
t
Vz
2-і -1
64.22. 64.23.
64.24.
1
—г О
а) АТГ = ГА- б) АНТ = ГА.
а,е,ж) Не является; в остальных пунктах - является.
V2
і
"v/6 1
2 + г
1 г О
О О
V2
17
5
-1
5
-7 5
-1 5
17
Указание. Найти многочлен /з(t), орто-
гональный многочленам fi(t) = 2 + 2t — t2 и /2 (0 = 2 — * + 2?2 и имеющий ту же длину. После этого построить матрицу оператора в ортогональном базисе f2(t), /з(0-
64.25. Л - оператор умножения на действительное число.
64.40. Нет. Указание. В унитарном пространстве для любых двух векторов х, у преобразовать равенства (А(х + у), я + у) = 0 и (Л(х + гу), х + гу) = 0. В евклидовом пространстве - см. предыдущую задачу.
64.46. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей зада-
