Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
в) •(/, g) = ao?o + a0?i + 2a0ft + 6a0ft + ai?o + 2aift + 4aift + 12aift + 2a2ft + 4a2ft + 9a2ft + 27a2ft + 6a3ft + 12a3ft + 27a3ft + 82a3ft;
r) (/, g) = oto?o - ao?i + aoft - a0ft - aift + 2aift - 3aift + 4aift + a2?o - 3a2ft + 6a2ft - 10a2ft - a3ft + 4a3ft - 10a3ft + 20a3ft.
62.39. Указание. Построить многочлен f(t) так, чтобы для каждого собственного значения Aj оператора Л выполнялось условие f(Xj) = Xj.
62.41. Указание. Проанализировать собственные значения оператора А.
62.42. Указание. Использовать предыдущую задачу. 62.45. Указание. Использовать предыдущую задачу. 62.49. Указание. Использовать задачу 61.65.
1 ( 1 у/3. 1 у/ЗлТ
62.51. ei = -J=(I,-2,1)т, е2 = -L(1,0,-1)T, е3 = -L(1,1,1)T.
62.53. Указание. Показать, что A* B1 В*Л, AB*, BA* - нулевые операторы.
62.54. Указание. Пусть А имеет простые и различные по модулю собственные значения, и пусть ei,..., еп - ортонормированный базис из соответствующих собственных векторов. Пользуясь нормальностью матриц АеВе и Be1 показать, что Ве - диагональная матрица.
62.55. Указание. Рассуждая так же, как и в доказательстве предыдущей задачи, показать, что матрица Ве квазидиагональная, причем ее диагональные клетки порядка, большего 1, соответствуют кратным собственным значениям оператора А.
62.57. Указание. Использовать теорему Шура и тот факт, что нормальная матрица унитарно подобна диагональной.
62.58. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
62.59. Указание. Воспользоваться критерием, установленным в задаче 62.57.
62.60. Эти векторы суть собственные векторы оператора A1 отвечающие собственным значениям с максимальным модулем. Указание. Разложить вектор х по ортонормированному базису из собственных векторов оператора А.
Ответы и указания к §63
231
62.61. Указание. Применить результат предыдущей задачи: а) к вектору с координатным столбцом б) к векторам с единичными координатными столбцами.
62.62. Нет. Например, для унитарного оператора Л отношение |*Д*г|/|а*| равно единице для любого ненулевого вектора х.
§63
63.2. а) Да; б) нет. 63.3. Да.
63.5. Операторы умножения на число а: |а| = 1.
63.6. а), в), г), д) Да; е) да, только если п = 0; ж) да, только если АТА = І (АНА = І); з) да, только если ВВТ = / (ВВН = /); б) нет.
63.7. Указание. Рассмотреть матрицу оператора А в ортонормиро-ванном базисе из собственных векторов и использовать тот факт, что через точки Лі, Л2, Аз комплексной плоскости можно провести окружность.
63.8. Только если это единичный оператор.
63.10. а) Собственное подпространство для A = I- это подпространство всех четных многочленов, а собственное подпространство для А = — 1 -соответственно всех нечетных многочленов; б) собственное подпространство для A = I натянуто на многочлены tn + 1, ?n_1 +t2,..., собственное подпространство для А = — 1 - соответственно на многочлены tn — 1, tn~l — t2, —
63.11. Указание. Проанализировать спектр оператора А.
63.13. а), б), д), е), з) Нет; в), г), ж) да.
63.14. а), б), е) Нет; в), г), д) да.
63.15. а), в), г) Да; б) нет.
63.16. а) АТГА = Г; б) АИГА = Г. Если базис ортонормированный, то: а) АТА = /; б) АнА = /.
63.18. а), г), д), ж) Нет; б), в), е) да.
63.19. а) Нет; б), в), г) да.
63.20. Указание. Воспользоваться задачей 63.17.
63.22. Указание. Учесть, что если z - корень многочлена р(А), то Z = \ jz - тоже его корень.
63.25. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 63.30. Да. 63.31. а), в), д) Да; б), г) нет.
63.32. Указание. Пусть е\,...,еп - ортонормированный базис. Показать, что векторы Aei,..., Aen имеют одинаковую длину.
63.33. Указание. Для Va*,у,z Є V, Va,? Є P установить тождество (A(ax + ?y) - схАх - ?Ay, Az) = 0.
63.34. Да во всех пунктах.
63.35. а), в) Нет собственных векторов;
б) Ai = -1, A2 = 1, /1 = с(-1,1 + у/2)т, h = с(1 + \/2,1)т, где с = (4 + 2N/2)"1/2;
г) A1 = -1, A2 = 1,/1 = i(l, -2)т, /2 = -^(2,1)Т;
д) при а ф /с7г, к Є Z, нет собственных векторов; при a = 0: Ai = A2 = 1; при a = 7г: Ai = A2 = 1, любой ортонормированный базис - базис из собственных векторов;
е) Ai = -1, A2 = 1, /1 = (sin-,-cos-j , f2 = (cos-,sin-j ;
ж) Ai = l,/i = 4=(1,1, if;
232
Ответы и указания к §63
з) A1 = -1, A2 = A3 = 1, /i = -L(I1-I1I)7", /а = -L(U1O)7", /з =
1 „ ,
и), к) Ai = 1, /х = —(1,1,0) л) Ai = -1, h = ^=(A- 1,1,-А -1)т; м) A1 = -1, A2 = 1, h = 5(1, -1,1, -if, h = 5(1,1,1, if; н) A1 = -1, A2 = A3 = A4 = I1 h = 5(-1,1,1, -if, h = ^=(1,0,1,0)т, /з = 1(1,1, —I1-I)3-, /4 = -L(0,1,0,1)1*.
63.36. a) A1 = І±І, A2 = І^І, /, = -L(l,-<f, /2 = -L(Mf;
б) A1 = -у—, A2 = —, Z1 = ^(1.*) . /2 = ^=(1,-0 ;
в) A1 = cos а+г sin a, A2 = cosa—isina, fi = ^^(1> —*f > /2 = ^2^'*^'
г) A1 = t, A2 = -t, fi = с(*(1 + V2),1)T, h = с(1,*(1 + Af, где с =(4 + 24/2)-1/2;
Д) A1 = 1, A2 = і, h = fyi - 1, if, H = ^=(1,1 + if;
«л г 1 \ -1 + гУЗ -1 -г\/3 1 , .т
е) A1 = 1, A2 = ---, A3 =---, Ji - -^=(1,1,1) , /2 =
^1=(1 + і А1 - »v/З, -2)7", /з = ^L=(I - iv/3,1 + гч/З, -2)т;
ж) A1 = 1, A2 =---, A3 =---, /i = -^=(1,1,0) , /2 =
