Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
61.14. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
61.19. а) X; б) если А = аХ, то А* = oX; в) Л* = А] г) так как Л = al, то Л* = ctX.
61.20. Если Л = diag((ei,ei),...,(en,en)), то (А*)е = A-1AfA. Равенство {А*)е = А"? выполнено, если |ei| = ...== |еп|.
61.21. А - скалярный оператор.
61.24. Поворот на угол а в противоположном направлении.
61.25. А* = -А.
m
61.26. a)/*(a)=a/i; б) /*(а) = а^
61.27. a) Amx = Втх\ б) Xx = ?ях.
61.28. а) Т*Х=АТХ {Т*Х=АНХ); б) ?ГХ=ХБТ (Q*X=XBH)] в) <ГХ = [ЛТ,Х] (<ГХ = [АН,Х]).
61.29. Жр(«)
/
J а
61.31. А* = А в обоих пунктах.
61.32. А* - оператор проектирования на биссектрису второй и четвертой четверти параллельно оси Oy.
61.33. А* - оператор проектирования на плоскость х+ у + z = 0 параллельно оси Oz.
61.34.
61.36.
[-? -
61.35.
-36 30 26
-37 30 27
-15 14 9
4 -2 2 -1
61.37. а
г)
61.38. а
2 2 -2 -2
3 2 8 0
12 -1 12 51 -2 1
Д)
-2 3 0
-1 2 0 2
-4
о
-11
49 15 " 7
з)
б)
-3 1
-1 6
2-і 2І -1
7 3 -3 -1
в)
е)
1 + г 1-і
Г -2 2 2
4-і 1 + 2г 0
-2 + 4г 2 - г
1+г 1
2 J;
2 3 -2 -5 2 3
в)
+ 9t 1
-4г J''
228
Ответы и указания к §61
г)
Г 1 -3 10 1 Г 1 -1 1 1 ¦ п 2 - Зг Юг
0 2 -4 ; д) 1 0 1 ; е) —г -5 - 4г 20
-1 -2 -1 5 -3 3 . 4 + 4г 2 -4 + 5г
61.39. a)[-J J]; б)}.} І].
61.40. а)
Г 0 -5 О І і 6 О 2 ; б) і О 15 О J 2
ООО 6 0 0 0 5 0
в)
—З 1 2 -5/2 0 5/2 -2 -1 3
61.41. а)
0-4 0 3/2 О 1 О 6 0
-6 1 2 -16 О 16 -2 1 6
;в)
0-2 0 3/2 О 3/2 О 2 0
61.42. 61.46. 61.48.
а)
Указание
-3 -10
-1 1/2 1 б) OO О ; в)
-1 -1/2 -1
Воспользоваться задачей 61.28 -1 3
в) '
-1 2
О 1 О
3 5 О
2/3 О 2/3
О -1 О
г)
6 9 0 -3 -5 -1 2 2-3
61.53. Указание. Учесть, что im( А + В) С im А + im В, и показать, что im Л С im(A-{-B) и \тВ С \т(А + В). Для доказательства второй части утверждения перейти к ортогональным дополнениям в равенстве im А* + im Я* = іт(Л* + В*).
61.54. a) keiV* = C(t2), imV* = C(t,t2)] б) keiV* = C(St2-2), imV* = C(t,?>t2 - 2); в) kerlT = C(Zt2 - 1), \mV* = C(t,3t2 - 1).
61.55. Нулевое подпространство и подпространства C(tk, ..., tn), k = 0, n.
n -і
61.56. a)^/(fc) = 0; 6) / f(t)dt = 0.
k=o
61.57. a) xi + X2 + хз = 0; б) xi — X2 + 2хз = 0; в) Зхі + X2 — 2хз = 0; г) 4xi + Х2 — Зхз = 0; д) Зхї + 5х2 + 6x3 = 0.
61.62. в) Такого базиса нет. В остальных пунктах базис и матрица определены неоднозначно. Ими будут, например, векторы с указанными координатными столбцами (относительно исходного базиса) и соответственно матрицы:
і 2 -у/3/2 Ъ1\[2
Vi- - . ,^(1,1,оГ,^(1,-1,2Г,
a) 4(l,-l,-lf, 1 /і і
2
г) (1,0,0)т, -^(0,1,1)Т, -^(0,1,-1)т,
0 2
0 0
0 27/у/Ы -65/v/42
0 0 14/л/З
0 0 0
1 1/>/2 3/n/2 "
0 2 1 0 0-1
Ответы и указания к §62
229
д) ^(l,0,lf, -^=(1,-2,-1)^, -L(I1I1-If1
2 4/уД 8/л/б 0 -2 -у/2 OO 2
61.63. Кроме приведенных в ответе к пункту д) предыдущей задачи:
2 4/\/3 8/л/б 0 2 \/2
-L(l,0,lf, -L(I1 2,-if, -L(I1-I1-If1
-L(o,i,if, L(2,-Mr, -L(I1I1-!)-
0 0-2 -2 4/у/З 7/у/б О 2 3/>/2
а также
0 0 2
базисы, получаемые из любого приведенного выше домножением некоторых векторов на множитель —1, и соответствующим образом измененные матрицы.
+ 2
61.64. а) 1,М ; б)
1
t ЗГ - 2
у/5' у/5' Ve 5 В) у/2
(ЗГ - 1).
61.65. Указание. Использовать существование общего собственного вектора у операторов Л* и В* и, следовательно, общего инвариантного подпространства размерности п — 1 у операторов А и В (здесь п - размерность пространства).
61.67. Собственные значения оператора А* комплексно сопряжены к собственным значениям оператора А.
61.71. Жорданова форма оператора А* получается из жордановой формы оператора А заменой диагональных элементов сопряженными комплексными числами.
61.72. Канонический базис для V составляют, например, многочлены 2,2?,?2. Канонический базис для V* - многочлены ?2,?/2,1/2.
§62
62.15. Указание. Использовать задачу 61.45.
62.19. Указание. Показать, что корневые подпространства оператора А совпадают с его собственными подпространствами и попарно ортогональны.
62.26. е, =-^=(1,1)т,е2 = ^=(1,-1)Т.
62.27. в1 = 1(2,1, -2)т, е2 = ?-1=(4 - Зг, 2 + 6г, 5)т, 1
е3 = —т=(4 + Зг, 2 - 6г, 5)J . 62.28. е, = -^(1,2, -1)т, е2 = 4=(1-0- 1)Т. ез = 4=(-1- !»
v/T
1
1 1 1
230
Ответы и указания к §62
62.30. Нет, неверно.
62.31. Указание. Использовать задачи 57.28 и 62.30.
62.32. Да, верно.
62.33. Да, может, если геометрическая кратность хотя бы одного собственного значения больше единицы.
62.34. Нет. 62.35. Можно, только если a = 0.
62.37. Если X = (аі,а2,а3), у = (ft,ft,ft), то положить (х,у) = «і (ft + ft + ft) + a2?i + 2a2ft + 2a2ft + a3ft + 2a3ft + 3a3ft.
62.38. Нормальными являются операторы пунктов б),в),г). Если f(t) = Ct0 + ait + ait2 + а3*3, g(t) = ?o + A* + ft*2'+ ft*3, то:
б) (f,g) = i(4a0ft + 2aift + 2a2ft + 3a3ft + 2a0ft + 2a0ft + 3a0ft + 2aift + 2aift + 3aift + 2a2ft + 6a2ft + 9a2ft + 3a3ft + 9a3ft + fa3ft);
