Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
68.27. Указание. Использовать канонический вид квадратичной формы.
68.28. Указание. Пусть ei,...,e„ - канонический базис, в котором квадратичная форма / имеет нормальный вид, причем /(е;) = 1, і = f(ej±=-lj
* = li._ . - ,
0 0 15 3)
,р, =р + 1,г 68.30. 1) [ -г
р + 1, г, f(ek) = 0, k = г + 1, п. Рассмотреть векторы ±е7,
Г П 1 _|_ „• 1
7)
4г г
4)
1 + г -5
8)
1 З
2 + 5г
З
-6 -4г
2-5»
4г
1 + 3\/2
9)/; 10)
1 0
4 + г 1 1 0 1
Г —Зг 2 1
L 2 г
о
0
2 + г 1 1
1 1 1
0
Ответы и указания к §69
243
68.31. 6) (1 -H)xix^ + (1 -г)х2хГ+5|х2|2;
8) 2\xi\2 + Зхіхг + Зх2хГ + (2 — 5г)хіХз + (2 + 5г)х3хГ — 6|х2|2 + 4іх2хз — 4гх3хТ+(1 + 3\/2)|хз|2;
п
9) ^|х*|2; 10) ^хкх].
к = 1 кфз
68.32. А(х, у) = і{А(х + у, х + у) - Л(х, х) - Л(у, у)) + %-(А(х + гу, х + гу) - Л(х,х) - Л(у,у)).
§69
69.1. 1)4у2+4у22-2у!; 2) 6у2 + 6у22 + 9у32; 3) у\ + л/3у22 - х/3у1; 4)Зу2 + (1 + ч/Ї7)у22 + (1-ч/Ї7)у32; 5) -у2 - 7у22 + 5у32; 6) -Ty12 + 2у2; 7)у2 + 3у22-3уз2-у42; 8) 10у?.
69.2. 1) Зу2 + буї + 9yh Xi = (2yi - у2 + 2у3)/3, X2 = (2yi + 2у2 - у3)/3, х3 = (-У1 + 2у2 + 2у3)/3;
2) 9у2 + 18уЦ - 9yl; X1 = (2yi + 2у2 - у3)/3, X2 = (-yi + 2у2 + 2у3)/3, х3 = (2у1-у2 + 2у3)/3;
3) 3y2+6y22-2yf; Xi = -^yi + -Ly2 + -^y3, х2 = -^y1--^y2 +j=y3,
хз = Ж - 71У2]
4) 9у2 + 18у| + 182/1; х\ = (yi - 2у2 + 2у3)/3, X2 = (2yi - у2 - 2у3)/3, х3 = (2уі +2у2 + у3)/3;
.,2 й2 2 у/2 уД 1 2V2 2
5) Зуі - 6у2; Xi = -yi + —2/2 + — у3, X2 = -yi--—у2, X3 = -yi +
у/2 у/2 ТУ2 - -2~Уз;
_Чл2 л2 л2 2 у/2 у/2 1 2\/2
6) 9yi + 9у2 - 9у3; хх = -yi + — у2 + —у3, X2 = -yi--—уз, X3 =
2 >/2 >/2 g2/i - "2~У2 + -g-2/з;
7) 2у2+4у2-2у3-4у|; xi = (yi+у2+у3+у4)/2, X2 = (-yi+у2+у3-у4)/2, х3 = (-yi - у2 + уз + У4)/2, X4 = (yi - у2 + у3 - У4)/2;
8) 4у2+8у| + 12у|-4у|; xi = (yi+у2+у3+у4)/2, X2 = (yi-у2-у3+у4)/2, х3 = (yi + у2 - уз - У4)/2, х4 = (yi - у2 + уз - у4)/2;
9) 5у2 - Ъу\ + 5у|; xi = (2yi + у2)/\/5, X2 = (yi - 2у2)/у/Е, X3 = (2у3 + у4)/л/5, х4 = (-уз + 2у4)/л/5;
10) 2у2 - 4у|; xi = (yi + уз)/у/2, X2 = (yi - уз)/А X3 = (у2 + у4)/л/2, х4 = (у2 - у4)/\/2;
11) 9у2+9у| + 9у|; Xi = уь X2 = (у2 + 2у3 + 2у4)/3, X3 = (2у2+у3-2у4)/3, х4 = (2у2 - 2у3 + У4)/3;
12) 5у2 + 5у2+5у|-8у|; xi = (2yi+у5)/\/5, X2 = (-yi+2у5)/\/5, X3 = у3, х4 = (2у2 + Sy4)/у/ІЗ, X5 = (Зу2 - 2у4)/ч/ЇЗ;
244
Ответы и указания к §69
13) 4у2 + \у\ + 4у| - 6у? - 6yl; X1 = уь X2 = ^(у2 + 2y4)/y/b, X3 = (-2у2 + у4)/\/5, X4 = (уз + 3y5)/vTO, X5 = (Зу3 - у5)/^/Ш;
14) 5y2-5yf + 5y|-5y? + 5y|; xi = (2yi+у2)/\/5, X2 = (yi-2y2)/\/b, х3 = (Зу3 + у4)/\/Й), х4 = (-y3 + 3y4)/vT5, X5 = (2у5 + у6)/>/5, у6 = (у5 - 2у6)/ч/5;
^_.ч rt-hl 2 1 2 I2 1/ \
15) —^—2/1 + ^y2 + ... + тУ„; yi = "T=(Xi + X2 + ... + х„), yi = (xi + X2 + ... + Xj-I - (і - 1)хі), і = 2,n;
і*\ П ~ 1 2 1 2 І2 ^
16) —-—yi — -у2 — ... — -уп; преобразование можно взять то же, что и
в предыдущем пункте.
69.4. Матрица с положительными угловыми минорами ортогональна тогда и только тогда, когда она единичная.
69.5. Если xi,...,Xn - координаты вектора х в ортонормированном базисе ei,..., еп, где ei,..., ег составляют базис L1 то k(x) = х\ + .. . + х2.
69.6. 1) |yi|2 + 3|у2|2; xi = (yi - гу2)/%/2, X2 = (-гуі + у2)/\/2;
2) 6|yi|2 -4|у2|2; xi = -^J.(У1 + у2), х2 = ^=(уі - Уг);
3) 2|yi|2 + 4|у2|2 - 5|у3|2; xi = (yi + ty2)/\/2, х2 = (iyi + уг)/>/2, X3 = у3;
4) ЗІуіІ2; xi = -Lyi + -Ly2 + -Ly3, X2 = -Ly1 - -Ly3, X3 = -
5) 4|yi|2 + 8|у2|2 + 12|у3|2 + 16|у4|2; xi = (-yi + у3 + (1 - г)у4)/2, X2 = (уг+ (1 + 02/з-У4)/2, х3 = (уі-(1-г')у2 + у3)/2, X4 = ((1+ г')уі+у2+ у4)/2.
69.8. Указание. Привести соответствующую квадратичную форму к каноническому виду.
69.9. См. указание к предыдущей задаче.
69.11. Указание. Применить предыдущую задачу. 69.13. Указание. Показать, что корни Л-уравнения не меняются при невырожденном преобразовании обеих форм.
69.15. Нельзя в обоих пунктах. Указание. Показать, что корни соответствующих Л-уравнения невещественны.
69.16. При подходящей нумерации выполнены соотношения: Лі/іі = 1, г = 1, п.
69.17. l)/ = -2t/? + |y22; 2) і = iyl-2yl; 3)/ = 5»?; 4) / = yi+Ayh
5) / = f у? - \yl\ 6) f = 9yl - yh 7)f = yi + yl + yi - 3yh 8) f =
УІ + 2J/1 + 2уІ - 7у24.
* 112
69.18. 1) / = у2 +у2, д = by2-4yh xi = -^=уі -у2, X2 = ^5^1 + 3 ^
29 1 3 1
2) / = —у\ - -jyl, 9 = УІ + УІ; xi = \/5уі, X2 = --дУі + ^=2/25
3) / = У? + у\, 9 = УІ + 7у2; X1 = -Lyi + -Ly2, х2 = -Lyi + -Ly2;
Ответы и указания к §69
245
4) / = у? + yh 9 = у\ - ^yh xi = -Lyi + ^=2/2, X2 = уДуі + \[ьЇ2уч\
5) / = 26y?, 9 = у? + у22; X1 = --^yi + ^y2, X2 = -^=2/1 + ^y2;
6) / = уі+уі 9 = -5у? - ^y22; xi = ^=yi + ^=у2, х2 = --^y1 +
3
у2;
12 1
7) / = УІ + у2 + Уз, 9 = 5у2 + 2у|; уі = -дхі + -^x2 + ^=хз, у2 =
8) / = -Уі - УІ ~yh 9 = -5у? - 2у2 + у|; yi = -xi - -х2 + х3, у2 =
2 5 2 2
-xi - -х2 - 2х3, уз = -xi - -х2 - Зх3;
1 112
9) / = Зу2 +2у2, g = yl + yl+yh xi = ^=у2, X2 = -^=yi + -ду2 - ^=Уз,
хз = Ж " 7!У2 + 71уз]
