Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
71.15. В обоих пунктах евклидова норма равна у/п, а спектральная норма равна единице.
71.16. v/Af + .-. + Aa.
71.19. Указание. Использовать задачу 61.29а.
71.22. Указание, а) Учесть соотношения: р(АнА) < Ці4Яі4||і, ||Ля||і = ||і4||оо; б) учесть неравенство р(АнА) < Ьт(АнА).
71.23. Указание. Использовать соотношения Hi = (А + Ан)/2, H2 = (А-АН)/(2І).
71.24. Действительная (мнимая) часть комплексного числа z является ближайшей к z точкой действительной (мнимой) оси.
71.25. Если z = X + гу - алгебраическая форма записи числа z, то
N2 = я2 + у2.
248
Ответы и указания к §71
71.26. Если А > О, то утверждение верно, однако соответствующие унитарные матрицы могут быть определены неоднозначно. Указание. Для любой унитарной матрицы U имеем: \\А — U\\2E = tv((A — U)H(A — U)) = tr А2 + п — 2Retr(j4(7). Согласно задаче 66.44: |Retr(j4?/)| < trA, причем равенство достигается лишь при U = ±/.
71.27. Для числа z = r(cos(p + г sin у?) число ш\ = cosy? Ч- г sin (/? является ближайшей, а число ш2 = — cos (р — і sin у? - наиболее удаленной точкой единичной окружности.
71.28. Указание. Использовать задачи 66.43 и 66.44.
71.29. Указание. Показать, что для неотрицательной матрицы А выполнено: S(A) = tr А.
71.30. Указание. Воспользоваться непрерывностью нормы.
71.31. Указание. Использовать двойственность друг к другу векторных норм, соответствующих участвующим в левой и правой частях этих равенств.
71.32. Указание. Использовать предыдущую задачу.
71.33. а) 1; б) (п + l)l/q при р > 1 и 1 при р = 1;
п
в) kq>) 1^4 при р > 1 и п при р = 1; k=i
п+1
г) к~4} 4 при р > 1 и 1 при р = 1;
п + 1
д) /с_<7) ^ при р > 1 и 1/2 при р = 1. Указание. Использовать предыдущую задачу.
71.34. а)1; б) хДГ+7; в) ./fp; г) ч/Е*"2; ДЫЕ*"2.
V /е = 1 у fc = l у * = 2
Указание. Учесть, что если /(х) = (х,/г), то /*(а) = а/г, Va Є К, и следовательно, ff*(l) = \\Ще- Тем самым, ||/|| = \\И\\е-
71.35. 1. 71.36. max IAd во всех пунктах.
1<к<п
71.37. Указание, б) Вычислить обе части неравенства на квазидиа-
гональной матрице diag
71.39. N(A) = M(PAP-1).
71.41. Если X = (xi,...,Xn)T, у = (уі,...,Уп)Т, то
п
\\А\\оо = (тах\хк\)^2\ук\.
k=i
71.42. Указание. Воспользоваться задачей 71.40.
71.43. Указание. Воспользоваться представлением Ax = (х,Ае)е и предыдущей задачей.
71.45. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
71.46. Указание. Воспользоваться задачей 71.44. 71.48. Указание. Воспользоваться задачей 71.40.
Ответы и указания к § 71
249
71.49. Указание. Воспользоваться задачей 71.40, представив матрицу В ранга 1 в виде В = хун.
71.51. Указание. Учесть, что в силу задачи 71.13 матричная норма ЦАЦ согласована хотя бы с одной векторной нормой, и рассмотреть норму вектора Ax1 где х - собственный вектор матрицы А.
71.54. Указание. Рассмотреть нильпотентную ненулевую матрицу-
71.55. Например, круг \z\ < у/Ъ + у/2. Указание. Воспользоваться результатом задачи 71.51 с подходящей матричной нормой.
71.57. Указание. Доказать, что матрица положительно определена.
71.60. Указание. В силу теоремы Шура существуют такие унитарная матрица U и верхняя треугольная матрица B1 что А = UB(7я, причем на главной диагонали матрицы В стоят собственные значения матрицы А. Положим Dt = diag(?, t2,..., tn). Тогда непосредственным вычислением можно убедиться в том, что сумма модулей всех элементов матрицы DtBDJ1, расположенных выше главной диагонали, при достаточно больших t > 0 не будет превосходить е. Поэтому < р(А) + є и в силу задачи 71.7, пункт в) матричную норму А можно определить равенством:
ЦАЦ = \\DtUHAUDT% = W(UDT1)-1 A(UD^)W1.
71.61. Указание. Повторить рассуждения, аналогичные проведенным в предыдущей задаче, и учесть, что ||І?|І2 = р(Вн В).
71.62. Указание. Рассмотреть матрицы [q o]'[l o]'[l О
[U]-
71.65. Указание. Показать, что ||j4fc|| —> 0, и, воспользовавшись эквивалентностью норм, перейти К ||А*||оо«
71.66. Указание. При доказательстве необходимости рассмотреть Акх на каждом собственном векторе х матрицы А. Для обоснования достаточности использовать результаты задач 71.60 и 71.65.
71.69. Указание. Во-первых, из соотношений [^(A)]* = р(Ак) < \\Ак\\ вытекает, что р(Ак) < \\Ак\\1/к. Во-вторых, для любого є > 0 спектральный радиус матрицы В = [^(A) + є]-1 А меньше единицы, и следовательно, В - сходящаяся матрица (задача 71.66). Поэтому, начиная с некоторого номера к = N1 выполнено неравенство \\Вк\\ < 1. Отсюда \\Ак\\<[р(А) + е]к.
71.71. Указание. Достаточность следует из соотношения задачи 71.69. Для доказательства необходимости использовать цепочку соотноше-ний: \\А\\к = [р(А)]к = р(Ак) < \\Ак\\ < \\А\\к.
71.72. Указание. Показать, что частичные суммы матричного ряда образуют последовательность Коши.
71.74. Нет.
71.79. Указание. Использовать теорему Шура о приведении к треугольному виду.
71.80. Указание. Учесть, что унитарная матрица U унитарно подобна диагональной матрице.
71.81. Это возможно для любых матриц А.
250
Ответы и указания к § 72
г 1 2 -7 1 г -1 2 1 1 г
0 1 -3 ; б) 0 1 2 ; в)
0 0 1 0 0 1
