Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 82

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 .. 87 >> Следующая

2 1 2 1
4) 8yi + 2^з5 У1 = + Я2 + -х3, у2 = X2, уз = я3;
5) Зу2 - 3Oy2 + 53Oy2; yi = xi + -х2 - -х3, у2 = ^x2 - —х3, уз = ^z3;
6) У\ + Зу2-Зу2 + у|; yi = Xi-X2, у2 = х2 + -х3, у3 = -z3 + x4, У4 = Зх4;
7) Уі - yh zi = 2/1 - 2/2 - уз, X2 = yi + У2 - У4, X3 = уз, Z4 = у4;
8) Зу2 + 15у2 - 85yl -629у2; Zi = yi -у2 + 2у3 -у4, Z2 = Зу2 -6у3 + Зу4, Z3 = 5у3 + 6у4, z4 = 17у4;
9) ~(уі - 2/2 + Уз -УІ)\ yi - zi -fz2 + Z3 + z4, у2 = zi - X2 +х3, у3 = х3, у4 = X3 - х4;
Ю) У2 +У2 - УІ -У4+УІ +у1\ У1 = Zl -Z3, У2 = Z2-Z4, УЗ = Z3, У4 = Z4, У5 = Z3 - Х5, Уб = X4 - Xe;
11) yh У1 = aixi + ... + OnXn, у2 = Z2,..., y*-i = Zfc_i, yk = Zi, У*+і = Zfc+i,..., уп = Zn, если ak ф 0;
10Ч 2,324252 n + 1 2
12) y1 + iy2 + -te + §y4 + . ..+ —»„;
УІ = Zl + -(Х2 + X3 + . . . + Xn), У2 = X2 + -(X3 + X4 + . . . + Xn),. . .
Уп = Zn;
, 2 2 2 3 2 4 2 ^ — І2
13) Уі-У2-Уз - 4* - glto - ... - 2(^32)2/-
1/ 1/
yi = -(zi + X2) + Хз + Xi + . . . + Xn, У2 = -(zi - X2),
Уз = X3 + ^(х4 + X5 + ... + Xn), У4 = X4 + -(х5 + X6 + ... + Xn),. . . Уп = Xn;
14) если п четно: у\ - у2 + у2 - у2 + ... + y2_i - у2, У* = (zfc + Xfc+i + Xk+2)/2 при А: = 1,3,..., п - 3, ук = (хк-і - хк + Xfc+i)/2 при А: = 2,4,... ,п - 2, yn_i = (xn-i + хп)/2, уп = (xn-i - хп)/2;
если п нечетно: у2 - у| + Уз ~ 2/4 + • • • + Уп-2 - УІ-і, Ук = (хк + Xfc+i + хк+2)/2 при А: = 1,3,..., п - 2, ук = (xfc-i - X* + Xfc+i)/2 при fc = 2,4,..., ті - 1, Уп = Xn;
Ответы и указания к §68
241
^ Tl — 1 о Tl — 2 о 2г І2
15 -у? +-туг+.•• + ^„-2 + ^-1;
п п — 1 о 2
2/1 = Xl--- (х2 +X3 + ... + Xn), 2/2 =Х2--г(х3 + Х4 + . . • + Xn),. . .
п — 1 п — 2
У п. — 1 = Xn-I Xn5 2/тг = XnJ
16) (п-1)у2-у22-у32-...-у2;
2/1 = 2 (^i + х2 + X3 + ... + Xn), 2/2 = 2^~Xl +^2 +х3 + ... + Xn), 1, ч 1, ч
2/3 = -(— Xl — Ж2+Х3 + . . . + Xn),. . . , уп = -( — Xi — Х2 —.. .-Xn-I +Xn);
17) у2; yi = 2xi - Згх2, 2/2 = х2;
18) 2/1+(1- 2г)2/2 5 2/i = 3xi + 4(1 + г)х2, у2 = 4х2;
19) ^(2/1 - 2/2); 2/1 = Xi + X2, 2/2 = Xi - х2;
20) (1 + г')у2 + г'2/2 + (2 - г)у3; t/i = xi + х3, у2 = х2, у3 = х3;
21) у\ + г'2/2; 2/1 = Xi + (1 - г)х2 + х3, 2/2 = 2х2 + х3, у3 = X3]
22) -у2; yi = Xi + 2гх2 + (1 - г)х3, у2 = х2, уз = х3.
Указание. 15) Представить форму в виде -У^х^--У^х^х, и
п ' п '
k=i k<j
применить метод индукции.
67.14. 1) Xi = yi - Зу2 - 6у3, X2 = 2/2 + Зу3, X3 = у3;
2) Xi = 2\Дуі + \Ду2 + 5у3, X2 = -pyi + у3, X3 = у3;
v2
3 3
3) Xi = у3, X2 = \Ду2 + у3, х3 = \р2у\ - —у2 - (3 + ^=)Уз.
67.15. 1) Формы /і и /3 эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна /2; 2) формы /2 и /3 эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна /ь
67.16. п2.
67.17. 7 = 2xiyi + 2х2у2 + 8х3у3 + 8х4у4 в базисе 1, VSt1 y/E{3t2 - 1), у/7(Ы3 -3t).
8 8
67.18. I = 2Х2У2 + -х3у3 + -х\у\ в базисе 1, ?, ?2, t3 — t.
3 5
§68
68.1. 1) УІ+УІ- yh 2, 1, 1; 2) у\ - у\ -у\- yh 1, 3, -2; 3) у\ + г/22 + Уз! 3, 0, 3; 4) -yi + у% - yh 1, 2, -1;
5) у\ - УІ + УІ; 2, 1, 1; 6) у\ - у\ + у\ + yh З, 1, 2.
68.2. 1) Если п = 2к, то 7Г = ^ = к, если n = 2к + 1, то 7г = к + 1, i> = к;
2) 7Г = п, V = 0; 3,4) я- = I1 i/ = п — 1; 5) 7Г = n, v — 0.
68.3. Указание. Использовать результат задачи 64.56.
68.4. Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
68.5. 1) у\ - у\ - yh 1, 2, -1; 2) у\ + у\ - у\ - yh 2, 2, 0;
3) Ух - УІ -Уз- yh 1, 3, -2; 4) у{ + yl - у\ - у\ - yh 2, З, -1;
5) j/i+г/22+ г/з-г/І; з, і, 2.
68.7. Нет.
242
Ответы и указания к §68
68.8. Нет. Указание. В доказательстве использовать положительно определенную при всех є > 0 квадратичную форму В(х, х) = А(х, х)+є(х,х). Рассмотреть пример: / = — х\ + 2хіх3.
68.9. 1) Л > 1; 2) Л > 2; 3) Л > 8; 4) |Л| < д/б/З; 5) -4/5 < Л < 0; 6) Л Є 0; 7) Л Є 0; 8) Л Є 0; 9) Л < -6.
68.10. Форма приведется к виду у\+д(у2,...,уп), где д - квадратичная форма от переменных у2,..., уп •
68.11. Указание. См. задачу 65.39.
68.12. Все формы положительно определены, соответствующими треугольными преобразованиями будут следующие преобразования:
1) yi = Xi + X2 + х3, 2/2 = Х2 + х3, 2/3 = х3;
2) 2/1 = Xi + X2, 2/2 = X2 + х3, уз = х3;
3) 2/1 = Xi - X3 - 2х4, 2/2 = 2х2 + х3, у3 = Зх3 + 2х4, 2/4 = 4х4. 68.15. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
Указание. Сравнить с задачей 65.40.
68.16. 68.17.
I)S:
3) S =
Г 2 1 -1 1
0 2 1
. 0 0 1 .
' 1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
2) 5 =
Г 3 -1
0 1 -2 1
68.19. Указание. При доказательстве достаточности учесть критерий задачи 68.8, затем, используя нормальный вид соответствующей А квадратичной формы, получить разложение А = QTDQ, где D = diag(l,..., 1, 0,...,0).
Перейти к каноническому виду билинейной фор-
68.20. Указание, мы.
68.21. Указание. 68.24. Указание.
треть вектор у + Z.
См. предыдущую задачу.
Предположить, что h(y) ф 0, l2(z) ф 0, и рассмо-
68.25. Указание. Доказать, что если А(х,у) ф 0, то
Ш її (у)
h(x) h(y)
Л ф 0. Рассмотреть произведение (/і(х) — Л/2(х))/2(х) и применить задачу 68.24.
68.26. Ранг - четное число, сигнатура равна нулю.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed