Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
66.9. Если А = *Н+К, - эрмитово разложение оператора А, то эрмитово разложение оператора А* имеет вид А* = Ti — JC.
66.12. Указание. Использовать существование ортонормированного базиса из общих собственных векторов операторов А и В.
66.17. Когда оператор А эрмитов. Указание. См. задачу 65.72.
66.19. А - кососимметрический оператор.
66.22. Если ,..., рг - сингулярные числа оператора А, то: а) у А* те же сингулярные числа; б) аА имеет сингулярные числа |or|/>i,..., |с*|/эг.
66.26. Сингулярные числа оператора А-1 обратны сингулярным числам оператора А.
66.29. п, п- 1,..., 2, 1, 0.
66.30. 2у/3, 0.
66.35. a) AT = VTAUT; б) Аи =VHAUH; в) А~х = (PV)11PA-1P(UP)", где матрица P получена из единичной матрицы перестановкой ее строк в обратном порядке.
66.36. Указание. Достаточно рассмотреть случай m > п. Пусть А = UAV - сингулярное разложение матрицы А. Представить матрицы Л
и U в блочном виде: Л = О ]' где ^ = ^(^!•••^n), О Є C(m_n)Xn; U = [ Ui U2 ], где Ui Є Cmxn, U2 Є Cmx(m"n) и положить U = Ui/y/2,
238
Ответы и указания к §66
V = V/у/2. Тогда матрица W
полнено равенство
U -U Vй Vй
B = W
S о О S
о о
о о о
U2
о
W1
будет унитарной, и вы-
B
66.37. Неверно. Указание. Рассмотреть матрицы А = q q ] и
-[8 !]•
66.39. Единственное сингулярное число равно (tr ААТ)1^2.
66.42. Указание. Воспользоваться задачей 66.40.
66.43. Указание. Воспользоваться задачей 66.40.
66.44. Указание. Пусть А = UKV - сингулярное разложение матрицы А. Тогда
tr(AW) = ti(UAVW) = ti(AVWU) = tr(AZ), где Z = VWU вместе с W пробегает все множество унитарных матриц. Очевидно, что I tr(AZ)| < р\ +... + рп- Равенство здесь достигается, например, при Z = I.
66.45. В тригонометрическую форму записи комплексного числа.
66.46. Указание. Показать, что U = (AA*)1/2.
66.47. Указание. Учесть, что если A = HU - полярное разложение, то AA* =Н2, A*A = WU2U.
66.49. Указание. См. указание к задаче 66.47.
66.50. Для А < О: U = -A, U = -1.
66.51. В естественном базисе е пространства Mn:
0 1 0 ... 0
Не = diag(l,2,...,n,0), Ue
0 0 1
66.52. H =
66.53. H =
66.54. H
66.55. H =
66.56. H =
66.57. H =
66.58. H =
5 -5
10 10
25 10
15 5 0
5 0 0
-5 5
10 25
10 : 10
5
15 0
,U =
U =
' 3/5
. 4/5
3/5
4/5
3/5
4/5
0
10 5
0 0 10
о -
5
10
U =
U =
0 0 0 ±10 0
-4/5 3/5 -4/5 '
3/5 . -4/5
3/5 . L 0 ) 3/5 ) 4/5
0
3/5 4/5 0
0
-4/5 3/5
-4/5 0 3/5 0 0 -1
10 -5 0 1 1 0 0
-5 10 0 , U = 0 3/5 4/5 0 0 .5 J [О -4/5 3/5
2\/2 у/2 0 1 [O l/v/2 —1/л/2
у/2 3\/2 0 , U = 0 11 у/2 I/у/2 0 0 5 -г 0 0
Ответы и указания к §67
239
66.59. H
66.60. H =
3 3 3 2 2 2 О
U==-
U==-
2 1 2 1
-2 2 1
1 2 -2 .
- 1 1 1 -1 '
1 1 -1 1 1
2 1 1 -1 1
1 -1 -1 -1
66.61. Если Zk = TkUk, где Uk = cos (fk + і sin </?fc, - тригонометрическая форма записи диагональных элементов, то А = HU1 H = diag(n,..., гп), U = diag(wi,...,o;n).
66.65. Указание. Пусть А = РЛР-1, где P - диагональная матрица, и P = KU - полярное разложение матрицы Р. Тогда выполнено равенство
A = (KUAUH K)(K-1)2.
§67
67.1. i)[i]5 2) [j j]; 3) [j j]; 4) [ _\ ~_\\,
О 1 О
5) 0 0 2 ; 6) I 10 7 ; 7) /; .3 0 0 ~ ~
5) A = (aij) Є
9) A = (a^) Є KnXn, все элементы равны нулю, кроме элементов побочной диагонали, равных единице;
10) А = (aij) Є KnXn, aij = 1 при \i — j\ < 1, остальные элементы нулевые;
11) Л = (aij) Є KnXn, aij = 1 при і — j < 2, остальные элементы нулевые.
67.2. 1) xl; 2) х\; 4) 2х\ - Ъх\ - 2ххх2\
п
6) X2 + 2хіХ2 - бхіхз + 14х2Хз; 7) 53 х2\
к к
9) при п = 2к + 1: х?+1 + 2 53 хіхп+і-і, при п = 2к: 2 53 хіхп+і-і',
i=i г=і
к п— 1 п
10) 53 х? + 2 Zl я.-хі+і; H) ПРИ ™ < 3: 53 XiXj. 1=1 1=1 »J=I
67.3. 1) -Зхіуі; 2) 9x22/2 - 9хіу2 - 9х22/25
3) xiyi + 5x22/2 + 7х3уз + 2хіу2 + 2x2yi + 2xiy3 + 2x3yi + 6х2уз + бхзуг;
4) 2xi?/i - ЗХ22/2 - 3xi2/2 - 3x22/i; 5) - ^ Xiyj.
67.4. 1) -Ax2 - 4x2 + 10xix2; 2) Ax2 - Ъх\ + Ax2 + 4xix2 + 8xix3;
3) 8x2 + 4xiX2Ч-2хіхз +4x2x3; 4) 2(xi+X2+X3+X4 —X1X2-X2X3-X1X3);
n-l
5) 2 53 XiXi+I.
i=i
67.5. 1) Поменяются местами г-я и j-я строки, а также г-й и j-й столбцы; 2) внедиагональные элементы г-й строки и г-го столбца умножатся на а, а
0 1 -3
1 0 7 -3 7 1
240
Ответы и указания к §67
г-й диагональный элемент умножится на а2; 3) к г-й строке прибавится j-я, умноженная на а, а затем к новому г-му столбцу прибавится новый j-й столбец, умноженный на а; 4) матрица отразится симметрично побочной диагонали.
67.6. Ортогональной матрицей.
67.9. 1) Ay2 +Ayl; 2) у\ - ^y22; 3) 2Ъу\; А) -у! - yh 5) -1бу2;
7 25
6) УЇ + УІ - yh 7) у2 - 4у22 - уз2; 8) у2 + 4у22 - у32; 9) 4у2 + — у22 - — yh 10)-12у2-|у22 + уу32; 11)у2 + 2у22+у32 + 1у42; 12) -у\-^y22 - |у32.
67.11. 1) 2у2+3у2 -Зу2; х\ = yi -5у2 + у3, X2 = -у2 + уз, Z3 = У2 + 2/з;
2) 2у\ + lOyf + 190yi; xi = yi + у2 - 9у3, X2 = 2у2 + 2у3, X3 = 1Oy3;
3) у2; yi = Зхі - 2х2 - х3, у2 = Х2, уз = z3;
