Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
1/2 0 -2/3
71.86. а) О 1 -3 ; б) О 1 2 ; в) Ol 1/3
~ ~ ~ ~ - 0 0 1/3
Указание, а) Представить В в виде В = I — А и показать, что B~l = I + А + А2\ б) подобрать диагональную матрицу D так, чтобы все диагональные элементы матрицы DB были равны единице.
71.90. Указание. Использовать соотношение А + В = А(/ + 1I?) и показать, что если < 1, то матрица А + В обратима.
71.91. Указание. Диагональная матрица D = diag(an,...,ann) обратима. Показать, что у матрицы B = I- D~lА норма ||1?||оо меньше единицы, и воспользоваться задачей 71.84.
71.93. Указание. Использовать теорему Шура и задачу 71.20.
71.94. Указание. Пусть A = Ai + іA2 - эрмитово разложение матрицы А и В = UH AU - верхняя треугольная форма матрицы А (теорема Шура). Тогда эрмитово разложение матрицы В имеет вид В =
UHAiU + %UH A2U. Использовать для каждой из матриц UнAyJJ неравенство Шура предыдущей задачи.
71.95. Указание. Неравенства переходят в равенства тогда и только тогда, когда соответствующие по теореме Шура треугольные матрицы диагональны.
71.96. Для матриц А простой структуры. Указание. Использовать рассуждения, аналогичные проведенным в доказательстве задачи 71.60.
71.97. Указание. Согласно 57.83 матрицы AB и BA имеют одинаковые собственные значения Ai,..., An- Так как AB - нормальная матрица ,
п
то ||і42?||!; = |Afc|2. Показать, пользуясь определением евклидовой нормы к=\
матриц, что = ||АВ||я.
71.98. Указание. Из представления задачи 66.61 следует, что для любой унитарной матрицы W: | tr(AW)| < pi + ... + рп- Пусть В = UH AU - треугольная форма Шура матрицы А. Тогда ti(AW) — ti(BUHWU). Выберем W из условия UHWU = D = diag(di,... ,dn), где bkkdk = \bkk\ = |А*|. Тогда tr(iW) = |Ai| + ... + |A„|.
71.99. Указание. Использовать задачи 71.11, 71.28 и 71.98.
71.100. Указание. Пользуясь задачей 71.90, доказать, что если матрица А +В вырождена, то ||І?||2 > Pn- Показать, что равенство ||І?||2 = рп выполнено для матрицы В = UDV, где D = diag(0,..., 0, —^n), а унитарные матрицы U, V участвуют в сингулярном разложении матрицы А: А = UAV.
71.101. а) (5 - Зд/5)/2, (5 + Зд/5)/2; 6)-2,9; в) -7, 5.
§72
72.1. (0,0,0,0,0,0)т. 72.2. (1/2, 0,1/2)т.
72.4. (1,-2,0,1)т. 72.5. (3,7, -4, -4)т.
72.6. (1/3, -2/3,1, -4/3)т.
72.7. (2,1,0, -1)т - точка минимума.
72.8. (7/5,0,1/5)т - точка минимума.
72.9. (9/2, -9/2,1/2)т - точка минимума.
72.3. (3,1,3)7
Ответы и указания к § 72
251
72.10. (9/2, -1/6, -1,0)т - точка максимума.
72.11. а) а2/п при х\ = ... = Xn = а/п;
G) -TTZ;-TT ПРИ Xl = Х2/2 = ... = Xn п = —-——--—;
} n(n + l)(2n + l) F 7 7 n(n + l)(2n +1)'
. аУ-l) . , n_i a(g2 - 1)
B) g2(g2"-l) ПРИ = *a/* = • *' = *n/* = g(^-l)-
2a2 2a
72.12. —-— при xi = ... = Xn =
n(n + 1) n(n + 1)
72.13. Указание. Применить альтернативу Фредгольма.
72.14. Указание. Применить теорему Фредгольма.
72.17. а) Ни для одного а Є Уз уравнение не имеет решения при любой правой части; б) (Ь, а) = 0.
72.18. Если векторы Zi и Z2 таковы, что [zi, аі] = [z2, а2], то они удовлетворяют соотношению (zi, bl) = (Z2, Ъ2).
72.22. Если g(t) = antn + yn_i(?), где degpn_i < п - 1, то искомые псевдорешения суть все первообразные многочлена gn-i(t). Нормальное псевдорешение f(t) удовлетворяет условию /(0) = 0.
72.23. Если многообразие псевдорешений записать в виде zo+ker A1 где Zo - нормальное псевдорешение, то соответствующими множествами псевдорешений будут следующие многообразия: а) — Zo + кег Л; б) azo + кет А;
a
в) zo + кег А.
72.24. Если Zo - нормальное псевдорешение уравнения Az = U1 то соответствующими нормальными псевдорешениями будут векторы: а) Zo; б) U0Z0.
72.25. Пусть г = TgA и собственные векторы еі,...,ег отвечают ненулевым собственным значениям Ai,..., Аг. Если u = aiei + ... + arer +
ai CXr
ar+ier+i + ... + anen, то псевдорешения суть векторы —е\ + ... + т—ег +
Ai Аг
?r+ier+i + ... + ?neni V/3r+i,...,?n Є С, а нормальное псевдорешение - век-
ai ar
тор — ei + ... + — ег.
Ai Ar
72.28. (0,0,0)т. 72.29. (0,0)т. 72.30. |(1,1,1,1)т. 72.31. -^(1,2)г. 72.32. ^(5,6)Т. 72.33. ^(1,0,1)Т. 72.34. ^(1,0,1)Т. 72.35. (1,1,0)т. 72.36. (g, |)Т. 72.37. (?,§)'. 72.38. (1,1,-1,1,1)'.
72.39. а) |(1 -*2); б) -L(-8* + *3).
72.40. Указание. Показать, что ортогональная проекция матрицы J на образ оператора CX = [A1 X] есть нулевая матрица.
72.41. Функция }(х) и наименьшее среднее квадратичное отклонение соответственно равны:
а) f{x) = (-Х + 3)/4, у/уїО\ б) f{x) = (-X2 + Зх + 3)/4, л/5/4;
в) f[x) = X2 - 2х + (4/3), ч/2/З; г) /(ж) = -(7/2)х + 6у - 3, лЛ05/4;
д) /(х) = (х + у + 3)/7, л/8/35.
Ким Г. Д., Крицков Л. В.
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Теоремы и задачи. Том II (2)
ИКД "Зерцало-М" Лицензия № 003601 от 20 ноября 2000 г. Подписано в печать 14.10.2003. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 16,0. Тираж 2000 экз. Заказ № 8908
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП "Типография "НАУКА" 121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-94373-077-Х
