Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
64.48. 64.49. 64.50. 64.53.
(A2 + l)fc,fceN.
Указание. Использовать результат задачи 57.70. Указание. Использовать результат задачи 57.71. Указание. Согласно задаче 64.51 fc-й единичный столбец является собственным вектором, отвечающим собственному значению Аь
64.56. Указание. Без ограничения общности будем считать, что подматрица Hn-I расположена в левом верхнем углу матрицы Н. Пусть ei,...,en-i - ортонормированный базис из собственных векторов матрицы Hn-Ii отвечающих собственным значениям /xi,... ,/in-i соответственно, причем /її > /12 > ... > /In-I- Согласно задаче 64.52:
(Hn-iy,y) (Hn-iy,y) Jn ах —---— = /і* = min —---—,
где Lk = ?(еі,. ..,е*), Мп-к = Цек мерному вектор-столбцу у поставить в
г 2/ 1__(я„_іу,у) _ (Hx,х)
[ 0 J'
то
• .,Єп-і). Если каждому (n — 1)-соответствие вектор-столбец X =
. Подпространствам Lk и Mn-к будут соот-
(у,у) (х,х)
ветствовать в n-мерном пространстве подпространства Lk и Mn-к той же размерности, и в силу теоремы Куранта-Фишера имеем:
Afc+i < ?k < Afc.
§65
65.1. Нет. 65.12. U = O.
65.14. Указание. Рассмотреть величину хтAx для вектор-столбцов х, у которых отличны от нуля лишь компоненты с номерами, совпадающи-
236
Ответы и указания к §65
ми с номерами строк (столбцов), в которых расположена главная подматрица.
65.16. Указание. Воспользоваться задачей 64.56.
65.22. Матрица не является знакоопределенной.
65.23. Матрица положительно определена.
65.24. Матрица положительно определена.
65.25. Матрица является неотрицательно определенной.
65.26. Матрица является неотрицательно определенной.
65.30. Указание. Пусть akk = 0 и ukj Ф 0. Для вектор-столбца х, у которого k-я и j-я компоненты равны Xk и Xj соответственно, а все остальные - равны нулю, выписать выражение хтAx и взять в нем Xk = XukjXj, где Xj ф 0 фиксировано, а А Є К произвольно.
65.31. Указание. Использовать задачу 65.15.
65.32. Указание. Использовать критерий задачи 65.7. 65.34. Указание. Воспользоваться формулами Виета.
65.36. Указание. Использовать задачи 64.29 и 59.57.
65.37. Оператор А - единичный.
65.38. У к а з а н и е. Рассмотреть ортонормированный базис ei,..., еп, в котором матрица оператора диагональна: Ае = diag(Ai,..., An), причем все Xk > 0, и переписать требуемое неравенство, используя координаты векторов X и у в этом базисе.
65.42. Указание. Показать, что если A = ВНВ, то А~1/2 Вн ВА~1/2 =
I. Вывести отсюда, что В = UA1^2 для некоторой унитарной матрицы JJ.
65.43.
у/2 [
3 -1
65.45. -
14 2 -4
2
17 2
-4 1 2
14
65.44. I
3
65.46.
Г 4 1 1 і
1 4 1
. 1 1 4 .
' і 1 1 1 '
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1
65.47. Указание. Способ 1. Воспользоваться результатами задач 65.39 и 65.40. Способ 2. Пусть D = diag(af11,... ,а~^). Тогда требуемое
неравенство равносильно неравенству det(D1,/2ifD1^2) < 1, и поэтому достаточно рассмотреть матрицу if, все диагональные элементы которой равны 1. Если Ai,..., An - ее собственные значения, то det Я = П*=і ^к -
(*E;_i*0" = (itr*)" = i.
65.49. Указание. Воспользоваться результатом задачи 62.49.
65.50. Указание. Использовать определение неотрицательной определенности оператора.
65.51. Указание. Рассмотреть собственные значения оператора Ti.
-1/2
-1/2
65.52. Указание. Перейти к неравенству X < ^2-пользоваться предыдущей задачей.
65.53. Указание. Записать требуемое неравенство в ортонормиро-ванном базисе из собственных векторов оператора А.
65.55. Указание. Использовать положительную определенность оператора A-112UA-112.
65.57. Указание. Воспользоваться результатом задай 62.49.
65.58. Указание. Использовать задачу 65.49.
65.59. Указание. Показать, что оператор U1U2 имеет те же собственные значения, что и эрмитов оператор UY2UiU^2.
Ответы и указания к §66
237
65.62. B-1A.
65.68. Указание. В силу задачи 65.67 существует невырожденная матрица S: SH AS = diag(Ai,..., An) = Л, SHBS = I. Поэтому SH(aA + (1-а)В)5 = аЛ + (1-а)/, откуда |аЛ + (1-а)В| = \В\Цпк=1{а\к + 1-а) > |В|.|А|в.
65.69. Указание. В силу задачи 65.67 существует невырожденная матрица S: SHAS = /, SHBS = diag(Ai,..., An), где \к > 0 Vfc. Поэтому \А + В\ = а? \[пк=1{\ + /і*), \А\ = d\ \В\ = d2 ULi гда d = I det S\.
65.70. Указание. Матрицы Au и А22 положительно определены и det A = detAii • det(A22 - Ai2A^ Ai2). Так как матрица А"2A^A 12 положительно определена, то можно воспользоваться неравенством из задачи 65.69.
/ -A-1A12
65.71. Указание. Пусть T =
О
Матрица Тн AT
\^г\ л лн л-1 л 1 положительно определена, поэтому A(^A111 Ai2 > О.
I U A22 — Ai2A11 Ai2 J
Следовательно, в силу неравенства задачи 65.69 det(^412A^Ai2) <det УІ22-
65.72. Указание. См. указание к задаче 65.69.
65.73. Указание. Умножая обе части неравенства слева и справа на (det А-1/2)1/", показать, что без ограничения общности можно считать, что A = I. После этого переписать неравенство, используя собственные значения матрицы В.
§66
66.1. В алгебраическую форму записи комплексного числа.
66.2. A = O. 66.3. a) A = В] б) A = В*. 66.7. а) Она косоэрмитова; б) она эрмитова.
