Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
59.13. Скалярный оператор. Указание. См. задачу 57.51.
59.15. Оператор дифференцирования в Mn.
59.16. Либо V - одномерное комплексное или вещественное пространство и Л - любой оператор, либо V - двумерное вещественное пространство и Л - любой оператор с пустым спектром.
59.17. Указание. Найти спектр Л.
к eN.
58.79. Указание. Использовать задачу 57.81.
58.80. Указание. Использовать задачу 57.83.
§59
59.5. Нет.
Ответы и указания к §59
219
59.19. Указание. Выбрать базис в V так, чтобы ei,образовывали базис L, и, рассмотрев матрицу оператора Л в этом базисе, воспользоваться теоремой 58.3.
59.22. Вообще говоря, нет. При условии, что индуцированный на L оператор имеет собственное значение 1.
59.26. Указание. Использовать задачу 59.25.
59.29. a) dim L = 2 и А имеет единственное собственное значение геометрической кратности 1; б) dim V = 2 и А имеет простую структуру или dim V = 3 и А имеет единственное собственное значение геометрической кратности 1.
59.31. Указание. Использовать задачу 59.25.
59.32. Требуемые инвариантные подпространства определяются уравнениями: а) (2а + 3?)xi - ax2 + ?x3 = 0 (|а| + \?\ ф 0); б) х\ - X2 + 2х3 = 0; в) х\ — х2 = 0; г) х\ + 2х2 ± (хз + 2х4) = 0; д) Xi + хз ± {х2 + X4) = 0; е) 2xi + х2 + Зхз + X4 — хь = 0. Указание. Воспользоваться результатами задач 59.25 и 59.31.
59.35. а) ?((0,1,1)т, (2,1,0)т); б) ?((1, -1, -1,0)т, (0,0,0,1)т). 59.39. В пункте г) матрица А к треугольному виду не приводится. В остальных пунктах решение не единственно; если В = S-1AS - требуемый треугольный вид, то:
a) B =
б) B =
в) В
д) B =
е) B =
L I
59.40. 2. Если fci,. ki + ... + kj, j = 1,г.
59.41. Lk = ?(ei,..
0 - 25 0 1 0 1 0 1
0 5 1 , s — 1 5 0
0 0 5 . 1 4 1 .
0 0 0 4 1 1 о ¦
0 0 1 , S = 1 2 0
0 0 0 . 0 -3 1 .
-1 -1 -1 -2 1 1
0 -1 1 S = 1 0 0
0 0 -1 . 1 -1 0
0 - 1 1 - 1 0 0 1
0 0 - -1 , s — 0 1 0
0 0 0 -1 -1 1
2 0 1 1 1 0 о ¦
0 1 0 — 2 1 0
0 0 2 1 -2 1
.., kr - порядки диагональных блоков, то dim Lj
59.43. 59.44. 59.46. 59.47.
2
}ek), k = 1,71. См. задачу 59.42. Использовать задачу 59.43. См. задачу 59.45.
Учесть, что если dim V = п, то в G содержится не
Указание. У к азание. Указание. Указание, более nz линейно независимых операторов. 59.50. 2. Ai + \j, 1 < і < j < п.
59.52. При a = &7г, к Є Z, оператор Q\L единичный и А = 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные. При a = (7г/2) + пк, к Є Z, есть собственное значение A = Ic собственной матрицей J для пункта а)
и ^ Q для пункта б) и собственное значение А = — 1 с ненулевыми собственными матрицами вида ^ _^ j для обоих пунктов. При a ^71^/2
220
Ответы и указания к §60
есть собственное значение A = Ic собственной матрицей / для пункта а) И [ 1 0 ] ДЛЯ пУнкта и собственное значение А = cos 2a ± і sin 2a с собственными матрицами ^ ±{ — 1 ] для °боих пунктов. 59.53. 2. Да, может.
59.55. Указание. Пусть Леї = в, ei ф 0, тогда ei - собственный вектор и оператора В с некоторым собственным значением А. Векторы ei,..., еп такие, что Aek+i = е*, & = 1, п — 1, линейно независимы, причем Век = (А — к + 1)е*, /с = 1,п.
59.56. Существует базис пространства, в котором матрицы обоих операторов - треугольные одинакового вида.
59.57. Указание. Привести каждую из матриц А и В подобным преобразованием к верхней треугольной форме.
59.59. п + 1.
59.61. Указание. Рассмотреть индуцированный оператор на каждом собственном подпространстве.
59.67. Указание. В каждой паре инвариантных подпространств одно вложено в другое.
§60
60.2. Указание. Рассмотреть образы векторов под действием операторов (A — XiX)4 и (A — XiX)4'1 и учесть, что вектор (А — ХіХ)ч~1х является собственным.
60.4. Указание. Использовать задачу 60.3.
60.9. Jg(A0). 60.10. [Jq(X0)]T.
60.16. Указание. Воспользоваться тем, что оператор простой структуры не имеет корневых векторов высоты к > 1.
60.17. K0 = ЩО, 1, -if), K1 = ?((1,0, if, (0,1, Of).
60.18. ATi = M3.
60.19. K2 = ?((2,-l,0,0f,(1,0,1,Of,(2,0,0,If), К-2 = ?((0,1,0,-if).
60.20. K-i = ?((1,1,0,Of ,(0,0,1,if), JTi = ^(3,1,0,0)1*, (0,-2,3,1)1*)-
60.22. [Jn(A0)]7". 60.24. ei = (4,3f, л Г 7 11
е2 = (0, if; Aj~ [ 0 7 J"
60.25. ei = (l,0,0f, Г 2 1 0 1
Є2 = (1,1,0)Т, Aj = 0 2 1
ез = (0,0, if; . 0 0 2 .
60.26. Єї = (1,1,-1)г, ¦ 0 1 0 1
е2 = (-4,-5,6)г, Aj = 0 0 1
ез = (0,0, If; . 0 0 0 .
60.27. Єї = (1,-1,0,0)71, ' 2 1 0 0 1
Є2 = (0, і,-і,of, Л T 0 2 1 0
ез = (0,0,1,-If, ZlJ 0 0 2 1
Є4 = (0,0,0,1)г; 0 0 0 2
Ответы и указания к §60
221
Aj =
0 1
О
О
1 1
60.28. ei = (1,1,1,1,1)т, e2 = (3,2,l,0,-lf, e3 = (3,l,0,0,lf, e4 = (l,0,0,0,-lf, е5 = (0,0,0,0, if;
60.29. J„(-l). 60.30. Jn(I). 60.31. Jn(9). 60.32. Jn(I). 60.33. Jn(I). 60.34. Jn(2). 60.35. Jn(a).
60.36. = Jn+i(0), канонический базис 1, t, t2/2\,..., tn/n\.
Указание. Рассмотреть максимальную высоту корневых век-
60.38.
торов.
60.40. 60.41. 60.45.
