Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(г) Если отыскивают интегральную поверхность уравнения (1), проходящую через данную непрерывно дифференцируемую начальную кривую
x = u(s), y = v(s), z = w(s) (14)
(задача Коши), то (см. п. 2.6 (б)) единственное решение можно найти лишь тогда, когда проекция кривой (14) на плоскость XOY
x — u(s), y — v(s) (15)
нигде не касается ни одной характеристической кривой, т. е. когда выполнено неравенство
и' (s) g (и, v) — v' (s) / (и, V) Ф 0.
Если это предположение выполнено, то через каждую точку кривой (15) проводят характеристическую кривую2)
* = <Pi (t, и (s), v(s)), у = фг(г, и (s), v(s)),
т. е. строят то решение характеристической системы (3), которое при t=0 проходит через точку x — u(s), y = v(s); эти характеристические кривые образуют характеристическое поле. Теперь три уравнения
x = q>l(t, u(s), v(s)), y — (^(t, u(s), v(s)), z~w(s) (16)
дают параметрическую запись искомой интегральной поверхности в указанном характеристическом поле, содержащем кривую (15). Два первых уравнения (16) определяют непрерывно дифференцируемые функции t — t (х, у), s — s (х, у); вторая из них вместе с третьим уравнением (16) дает явное уравнение интегральной поверхности.
2.8] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 31
Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
проходящую через начальную кривую
x — s, у = as, г — ti>(s) (a =f= ± 1). Из характеристических уравнений
= У. У'(0 = *
немедленно находим решение, которое при t = 0 проходит через произвольную точку х — ?, у — т|:
Поэтому первые два уравнения (16) имеют вид
14-а , 1 — а _, х=—|—ser-|--2—se • У = ¦
Отсюда получаем х-\-у = (1 -)-а) se', а: — у = (1 —а) se-', и, следовательно, л2 — У2 = (1—a2) s2. Окончательно, согласно третьему уравнению (16), получаем при (у2 — х2) (а2 — 1) > 0 уравнение искомой интегральной поверхности в виде
причем верхний знак следует брать при s > О, а нижний — в противном случае.
(д) Дифференциальное уравнение с особой точкой. Точка (х, у) называется особой для дифференциального уравнения (1), если в ней f — g=0, и регулярной, если в ней l/l + le'l >0>). Пусть в некоторой окрестности U начала координат определены и непрерывно дифференцируемы функции / и g. Пусть /(0, 0) = g(0, 0) = 0, но |/|+|?Г|>0 во всех остальных точках окрестности U, так что начало координат является изолированной особой точкой для дифференциального уравнения (1) и точкой покоя2) для характеристической системы (3). Если отличные от точки покоя траектории системы (3) в некоторой специально подобранной окрестности U начала координат плоскости XOY все без исключения замкнуты, то дифференциальное уравнение в U имеет главный интеграл \р(х, у), причем I У?х I ~т~ 14>у I > О Вне начала координат 3).
') См. также п. 8.6.
2) [Характеристическая система (3) является автономной, поскольку ее правые части / и g не зависят явно от независимого переменного L Точкой покоя этой системы (положением равновесия) называется такая точка плоскости х, у, в которой обе правые части одновременно обращаются в нуль. Если решение х = х (t), у = у (t) автономной системы изобразить как кривую на плоскости х, у (рассматривая t как параметр), то эта кривая называется траекторией. Подробнее см. Л. С. П о н т р я г и н, Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука», 1965.—Прим. ред.]
3) См. Н. Н. Alden, Americ. Journ. Math. 56 (1934), стр. 593 — 612; E. Dig el, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 231—237.
32
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.9
2.9. Замечания об использовании разложений в ряды. Для
доказательства существования решения могут быть привлечены степенные ряды или ряды более общего вида (см. пп. 5.7 и 10.5). Однако итерационный метод, с большим успехом используемый в обыкновенных дифференциальных уравнениях, здесь к цели не ведет.
Следует упомянуть еще методы, рассматриваемые далее в пп. 4.4 и 12.11."
2.10. Методы решения. Имеются следующие методы решения уравнения (1):
(а) Метод характеристик (см. п. 2.4).
(б) Получение отдельных интегралов и, в частности, главного интеграла посредством комбинирования характеристических уравнений (см. п. 2.5). Из найденного главного интеграла можно, согласно п. 2.8(6), получить все интегралы.
(в) Если надо определить интегральную поверхность, проходящую через данную начальную кривую (т. е. надо решить задачу Коши), то можно, если уже известен главный интеграл (или таковой легко находится), поступать по примеру п. 2.5 (г) или, если характеристическая система (3) легко интегрируется, поступать по примеру пп. 2.6(6), 2.6(b) и 2.8 (г).
(г) Использование разложений в ряды (см. п. 2.9).
(д) Если ни один из указанных методов не приводит к цели в силу непреодолимых аналитических трудностей, то можно характеристические уравнения (3) или (6) решить приближенным методом, а затем, следуя п. 2.8 (г), получить приближенное численное решение данного уравнения (1) с частными производными.
§ 3. Линейное однородное уравнение
