Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(а)Основнаятеоремасуществования. Пусть ф(л", |, Tj) — характеристическая функция дифференциального уравнения (6), т. е. у = <р(лг, ?, г|) — проходящая через точку (?, г|) интегральная кривая-уравнения (б)1). Тогда для всех точек (|, rj), для которых функция ф(л"0, ?, г|) при фиксированном х0 существует, справедливо соотношение
= о.
т. е. функция ф(л-, у) = ф(лг0, х, у) при фиксированном лг0 является интегралом уравнения (5) в области существования функции Фо(аг0, х, у), и при этом фу > 0.
Пусть / — некоторый кусок прямой х = х0, лежащий в ©. Обозначим через О (/) с © область существования
функции ф(л"0, х, у); очевидно, что область G(l)— это та подобласть ©, которая заметается интегральными кривыми уравнения (6)_ проходящими через I (рис. 9). Область О (/) будем называть характеристическим полем дифференциального уравнения (5).
Рис. 9.
(б) Задача Коши. Пусть задана кривая2)
х = х0, у — г[, г = (о(т1) (а<г)<р),
(7>
проекцией которой на плоскость XOY является отрезок /. Задача Коши (задача с начальными данными) для дифференциального уравнения (5) состоит в нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную начальную кривую (7).
') [См. Камке, стр. 59. — Прим. ред.]
2) [Это — плоская кривая, лежащая в плоскости х = х0, параллельной: плоскости YOZ. Для такой кривой в оригинале употребляется термин Nor— malkurve. — Прим. ред.]
54
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.6
Если в характеристическом поле О (/) имеет место неравенство А < ср < b и если функция к» (и) непрерывно дифференцируема для А < а < В, то требуемая интегральная поверхность существует и притом только одна'), а именно:
ty(x, у) = ю(ср(х0) х, у)).
Легко установить аналитически, используя п. 2.2(6), что <р (х0, х, у) является интегралом в области О (/) и что ср (x0, х0, у) — у, а потому ty(x0, у) — со (у). Можно также строить интегральную поверхность геометрически: провести через начальную кривую (7) характеристики
у = ср(лг, лг0, г)), z = co(T|)
и исключить т|. Для этого достаточно использовать первые два уравнения (7), что сразу приводит к соотношению z — <?>(q>(x0, х, у)).
Пример. р-\-2хд — 0.
Характеристическое уравнение (6) превращается в у' — 2х. Таким образом, ф (х, |, г)) — х2 — %2 -|- следовательно,
2=г-а(х20 — х2 + у)
— искомая интегральная поверхность, проходящая через кривую (7).
¦ Далее, если есть какой-нибудь интеграл ty(x, у), фу > 0 на характеристическом поле G (I), то все интегралы можно получить из формулы %(х, у) = со (ф (х, у)), где со (и) пробегает все непрерывно дифференцируемые функции, определенные для значений Если © — некоторая полоса 2)
а < х < —co<y<-f-oo
и если функции / или fy ограничены в ©, то 0(1) совпадает с ©. В этом случае можно задать значение интеграла на любой прямой х — х0, а < х0 < Ь, и он тем самым будет однозначно определен и будет существовать во всей области ©.
(в) Обобщенная задача Коши. Кривая (7) специального лида может быть заменена произвольной пространственной кривой
х — и (s), y — v (s), z—w (s), s — параметр; функции и, v, w непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют
') Если рассматривать только такие интегральные поверхности, область -определения которых совпадает с характеристическим полем данного уравнения. Если области ® и G (/) таковы, как на рис. 9, то в некоторых случаях можно продолжать интегральную поверхность также за пределы G (I), но в этой получившейся расширенной области условия (7) уже не будут выделять однозначное решение.
2) Случаи а — — со, Ъ — -\-са допускаются, т. е. в качестве ® может •фигурировать вся плоскость XOY или полуплоскость.
2.6] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 25
неравенствам')
+ \v'\ >0, г/ Ф f(u, v)u'.
(8)
Для решения этой задачи следуют описанному в (б) геометрическому методу: в достаточно малой окрестности кривой x = u(s), y — v(s} интеграл может быть записан параметрически соотношениями y = q,(x, a(s),v(s)), z = w(s).
Пример. Пусть для дифференциального уравнения примера (б) задана начальная кривая
х = s, у = 2s, z—w (s).
Первое из неравенств (8) выполнено для всех s; второе для s Ф 1. Так как Ф (х, т]) = аг2 — %2-\-т\, то параметрическая запись интеграла выглядит так:
у = х2 — s2-|-2s, z = w(s).
Из первого уравнения получается
s = 1 ± Vx*
причем верхний знак берется для s > I, т. е. для х > 1, а нижний-тивоположном случае. Окончательно:
про-
г = а (1 ± Т^аг2 — у +1) для у < х2 +1.
интеграла © дифферен-
(г) О существовании нетривиального в произвольной области. Во всей области циальное уравнение (5) может не иметь нетривиального (см. п. 2.2 (а)) интеграла, даже если функция / (х, у) имеет в этой области производные сколь угодно высокого порядка по х и у, а сама область является одно-связной2). С другой стороны, имеют место следующие предложения:
(Г]) Если область © односвязна и ограничена и если функции f (х, у) и fy(x, у) непрерывны при приближении к границе области ©, то дифференциальное уравнение (5) имеет во всей области© интеграл ty(x, у), причем tyy > О всюду в этой области3).
