Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 16

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая


') Случаи с = — со, 6 = -f- со допускаются.

г) См.- Камке, Jahresbericht, DMV, 44 (1934), стр. 156—161.

3.71 § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 41

3.7. Решение задачи Коши.

(а) Для дифференциального уравнения (1) в общем случае нет теоремы существования, аналогичной теореме п. 2.8 (в).

Пример. Рассмотрим уравнение (см. ч. II, 3.45)

[(^ + У2-1)^ + У1-^+[(^ + У2-1)у-^]^ + 2г-^- = 0.

В односвязной области @, получающейся из х, у, г-пространства исключением точек -г-<0 оси г, коэффициенты дифференцируемы сколько угодно раз и нигде одновременно не обращаются в нуль. Но каждая область, содержащая характеристику х2 -f- у2 = 1, z = 0, имеет подобласть, в которой любой интеграл заданного дифференциального уравнения является константой.

(б) Обобщенная задача Коши (задача с начальными данными) состоит в следующем: требуется найти интеграл уравнения (1), который принимает заданное значение

u(tv

)

(15)

в области д(г), заданной параметрически

xv = «v Pi.

V= 1,

п.

Задача разрешима при следующих предположениях1). Рассмотрим коэффициенты fv(t) в области ©(г), и пусть функции uv и и непрерывно дифференцируемы в области H(tv .... tn_1). Точки области g должны принадлежать ©, а в области Н определитель

dui

fn («!•

dun ' dtl

dtn-i

(16)

Через точки области g проводят характеристические кривые2)

xv = <pv(t, т, и,.....«„), v=l, .... я, (17)

которые определяют характеристическое поле 0(H) в области ©. Уравнения (17) и (15) дают (в параметрической форме) искомый интеграл в каждой такой части О (И), которая содержит область ©

') См. Курант, стр. 78—83. Там же исследуется случай, когда определитель (16) обращается в нуль.

2) Поскольку правые части характеристической системы (2) не зависят от t, получаем следующее выражение для интегральной кривой этой системы, проходящей при г = т через точку (|„ ?„):

<Pv *. Ъи . -., l„) = q>v (t — т, 0, .... |„), v = 1.....п

<см. Камке, стр. 59 и 67). В дальнейшем аргумент 0 мы отбрасываем и принимаем т = 0.

42

ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

|3.8

и в которой разрешение уравнений (17) дает t, tx.....tn_x как

непрерывно дифференцируемые функции от хх.....х„. В силу (16),

это заведомо возможно в достаточно малой окрестности области ©.

3.8. Множители Якоби. Хотя обычно теория множителей Якоби1) рассматривается для дифференциального уравнения (1), тем не менее предполагается, что один из коэффициентов этого уравнения не обращается в нуль. Поэтому с самого начала мы будем записывать рассматриваемое уравнение в форме (10).

Непрерывная и не обращающаяся в нуль в некоторой области © (х, у) функция М—М(х, у) называется множителем Якоби дифференциального уравнения (10), если существуют непрерывно дифференцируемые функции ^(х, у).....ФиО*. у) такие, что для любой

непрерывно дифференцируемой функции z (х, у) справедливо равенство

М j ~дх- + 2и «ЪчГ J д (х, у,.....у„) • <18>

Легко убедиться, что

М *<».¦•••¦**> (19)

а функции 4\, образуют интегральный базис уравнения (10). Обратно, якобиан (19) для каждого интегрального базиса ф,, .... ф„ является множителем Якоби уравнения (10), т. е. верно тождество (18).

Вне зависимости от знания интегрального базиса можно сформулировать следующие предложения о множителе Якоби дифференциального уравнения (10).

Если коэффициенты /v (х, у) в области © (дг, у) непрерывно дифференцируемы по Уц, то условие

дМ

дх ' ^ dyv

является необходимым для того, чтобы непрерывно дифференцируемая в © функция М(х, у) была там множителем Якоби уравнения (10).

Обратно, если коэффициенты /v во всем х, ^-пространстве ограничены, непрерывны и по уй дважды непрерывно дифференцируемы, то любая, всюду непрерывно дифференцируемая функция М (х, у)ф0.

') См., например, Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, Bd. Ill, Leipzig und Berlin, 1924, а также E. Камке, Journal fur Math. 161 (1929), стр. 195—197. Поскольку множители (мультипликаторы) Якоби не имеют большого значения для фактического решения дифференциального уравнения (1), мы ограничимся здесь лишь несколькими замечаниями.

3.91 § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 43

удовлетворяющая соотношению (20), является множителем Якоби уравнения (10). В частности, если коэффициенты / непрерывно дифференцируемы в области © по уй и если в некотором характеристическом поле 0(1) уравнения (10) выполняется равенство

La дУу>

V=I

то уравнение (10) имеет в G (I) множитель Якоби М=1.

Знание множителей Якоби может быть использовано для нахождения последнего недостающего интеграла в интегральном базисе. Действительно, пусть1) для уравнения (10) известен п—1 интеграл

ф2 (х, у).....if„_] (х, у), У""'* Ф 0 и множитель Якоби

° \Уи —> Уп-1) М(х,у). Введем новые переменные (ср. с п. 3.5(a)):

z(х, у) — z(х, у), х = х,

у1 = Ы*.У).....Уя-1 = Фя-1(*. У). Уп = Уп'

тогда дифференциальное уравнение (10) примет специальный вид
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed