Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 6

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 82 >> Следующая


16 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (2.1

') От вида этой области может существенно зависеть решение рассматриваемого дифференциального уравнения; см. пп. 2.6 (г) и 2.6 (д). К указанным здесь предположениям часто присоединяют еще другие, дополнительные. Для разрешимости дифференциального уравнения (1) одного указанного в тексте предположения о коэффициентах, вообще говоря, недостаточно; см. О. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 549.

2) [Напомним, что если поверхность задана уравнением z = гр (х, у), то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в некоторой точке (х0, у о, z0 = ф (х0, у о)) имеет вид

Фл- (х0, у0) (х — х0) + i|y (х0, уо) (у — у0) — (г — z0) = О,

т. е. вектор (tyx (х0, ус), тру (х0, yD), —1) является нормалью к данной поверхности в рассматриваемой точке. •— Прим. ред.]

в) В предположении, что | / (х0, у0) | -f-1 g (хв, у0) | > 0, т. е. что рассматривается регулярная точка (см. п. 2.8 (д)).

Дифференциальное уравнение всегда будет рассматриваться в некоторой области ®(х, у), в которой коэффициенты / (х, у) и g(x, у) определены и непрерывныг).

Пятерку чисел х0, у0, z0, р0, д0 мы будем называть плоскостным элементом (элементом прикосновения), связывая с этими числами плоскость

z — z0 = (х — х0) р0-\-(у~ у о) д0

в трехмерном пространстве переменных х, у, z. Точка (х0, у0, z0), через которую проходит эта плоскость, называется точкой-носителем, числа р0, д0 называются направляющими коэффициентами плоскостного элемента. Плоскостные элементы с общей точкой-носителем (х0, у0, z0) образуют, очевидно, семейство плоскостей, проходящих через одну точку (х^, у0, z0) (разумеется, исключая плоскость, перпендикулярную к координатной плоскости XOY). Если z=ty(x, у)—непрерывно дифференцируемая

поверхность, то плоскостной элемент Рис. 1.

х, у, rj)(x, у), $х(х, у), $у(х, у)

определяет (для допустимых значений хну) касательную плоскость к этой поверхности2) (рис. 1).

В силу дифференциального уравнения (1) или (1а) с каждой точкой (х0, у0, Zq) можно связать плоскостные элементы х0, у0, z0, р, д, направляющие коэффициенты р, q которых удовлетворяют уравнению

/(*о. Уо)Р + ё(х0, у0)д = 0.

Получаем3) пучок плоскостей (кроме плоскости, ортогональной к плоскости XOY), которые проходят через горизонтальную прямую

x — x0 = f(x0,y0)t, у —y0 = g(x0, y0)t, z = z0

2.2) § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 17

(t — параметр) (рис. 2). Таким образом, в силу дифференциального уравнения (1), каждой точке отвечает пучок плоскостей1). Интеграл уравнения (1) с геометрической точки зрения есть любая непрерывно дифференцируемая поверхность z = \^(x. у), которая в каждой своей точке (х0, у0, z0) имеет одну из плоскостей соответствующего пучка своей касательной 2 _ плоскостью.

л

2.2. Замечания об инте- Щ_С f—^- / \

тралах и линиях уровня. У L_ /

(а) Каждое дифференциальное уравнение (1) имеет, оче- Рис. 2. видно, тривиальное решение

z = const. В дальнейшем нас будут интересовать лишь нетривиальные решения.

(б) Если -г = ф(х, у) — интеграл уравнения (1) в © и если А < ty(x, у) < В2), то для каждой непрерывно дифференцируемой на интервале А < и < В функции Q (и) сложная функция % (х, у) = = 2(ф(л:, у)) тоже является интегралом уравнения (1).

Аналогичным образом получаем: если (х, у).....ij>m (х, у) —

интегралы уравнения (1) в © и Q(u1.....ит) — некоторая произвольная функция, определенная для значений tyv, v — 1, .... т. и имеющая непрерывные частные производные -первого порядка, то •сложная функция

X (х. у) = Q (ф, (х, у).....ipm (х, у) )

также является интегралом уравнения (1). В частности, функции, полученные умножением интегралов уравнения (1) на постоянные, а также линейные комбинации3) интегралов являются снова интегралами рассматриваемого уравнения.

(в) Особенность дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка состоит в том, что их решения вполне определяются интегральными кривыми некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для дифференциального уравнения (1) к этому результату можно прийти следующим путем.

Любое решение z — ty(x, у) изображается поверхностью в (х, у, z)-пространстве, лежащей над плоскостью XOY. Точки этой поверх-

¦) [Эти пучки и их оси называются соответственно пучками Монжа •и осями Монжа; точка пространства вместе с направлением оси Монжа, проходящей через эту точку, называется характеристическим линейным элементом. — Прим. ред.]

2) Случай, когда А — —со, В~-\-оо, не исключается.

3) Линейной комбинацией функций ifyu ipm называется выражение вида Дф, -f- ... -\-Amtym с произвольными постоянными At, .... Ат.

2 Э. Камке

18 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |2.2

ности, лежащие на одной и той же высоте с над плоскостью XOYy т. е. соответствующие фиксированному значению с функции ty(x, у), образуют некоторую кривую, называемую линией уровня (рис. 3).

Уравнение линии уровня имеет вид

х = <Pi (0. У = ф2 (0. z = C ? — параметр,
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed