Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(г2) Пусть функция f(x, у) в области © (на рис. 10 эта область ограничена сплошной линией) ограничена. Пусть а — нижняя, Ь — верхняя грани (случаи й = — со, ? = -J-co допускаются) абсцисс х точек (х, у)?©. Тогда в каждой подобласти g области © (на рис. 10
О
! // \ i
[1
\ \ 9 \ / J \ it
|
У
¦ ч * 1
\ 1
\ 9 J
I х
а
Рис. ю.
') Смысл этих условий состоит в том, что проекция х = и (s), у = V (s) заданной кривой на плоскость XOY является кривой без особых точек, нигде не касающейся характеристических кривых уравнения (5).
2) См. Т. Wazewski, Mathematica 8 (1933), стр. 103—116.
s) См. L. D. Rodabaugh, Duke Math. Journal 6 (1940), стр. 362 — — 374; там же рассмотрен случай многосвязной области.
"26
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
J2.7
подобласть ограничена пунктирной линией), которая принадлежит внутренности полосы а < х < Ь, существует интеграл ф(х, у) уравнения (5), причем яЬу > 0 всюду в этой подобласти').
д) О продолжаемости интегральных поверхностей. Для обыкновенного дифференциального уравнения у' — f (х, у) •с непрерывной правой частью любая интегральная кривая, будучи •задана в произвольно малом интервале, допускает продолжение в обе ¦стороны вплоть до границы области непрерывности функции f(x, у). Соответствующий вопрос для дифференциальных уравнений в частных производных может быть поставлен так: допускает ли интеграл уравнения (5), заданный в подобласти g области ©, распространение на ббльшую подобласть области ©? Ответ на \^ III ЭТ0Т ВОпРос' в0°бш-е говоря, отрицателен.
В самом деле, пусть, например, задано дифференциальное уравнение
р -f- xq — 0.
Его характеристические кривые — параболы 2у = = х2 -j- С (рис. 11). Если дифференциальное уравнение сначала рассмотреть в полуплоскости у > 0, то можно так построить решение, что оно будет Рис. П. принимать разные значения на левом и правом кус-
ках каждой параболы, расположенной ниже параболы 2у = х2 (на рис. 11 этн куски изображены сплошной чертой, а участки этих парабол в полуплоскости у < 0 —¦ пунктиром). Интеграл, полученный таким •образом в полуплоскости у > 0, не может быть продолжен в интеграл во всей плоскости, поскольку этот последний должен принимать постоянное .значение вдоль каждой из парабол 2у = лг2-|-С.
Следовательно, если требуется найти решение уравнения (5) в некоторой области, то из того, что нам удастся построить решение для ее маленькой подобласти, мы получим мало пользы (если, колечко, речь не идет об аналитических функциях).
2.7. Функциональная зависимость и якобиан. В обыкновенных -линейных дифференциальных уравнениях фигурирует понятие линейной зависимости функций. В уравнениях с частными производными употребляют общее понятие функциональной зависимости и критерий зависимости функций в этом более общем смысле2).
Две непрерывно дифференцируемые функции и(х, у), v(x, у) ¦функционально зависимы, если существует такая непрерывно дифференцируемая функция Q(u), что имеет место соотношение
v(x, y) = f2(u(x, у)).
•) См. Е. К a m k е, Jahresberlcht DMV 44 (1934), стр. 156—161; см. также п. 3.6 (в) и Е. Kamke, Math. Annalen 99 (1928), стр. 602—615.
2) [См. Г. М. Ф н х т е п г о л ь ц, Курс дифференциального н иитеграль-лого исчисления, т. I, Физматгиз, 1962. — Прим. ved.\ v
2.7] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 27
= 0. (11>
Обратно, если для функций и(х, у) и v(x, у) выполнено условие (11), то они функционально зависимы.
В дальнейшем нам потребуется понятие функциональной зависимости для функций многих переменных.
Определение 1. Функции
.....xq).....ир(хг.....xq), (12)-
о которых мы будем предполагать, что они определены в некоторой
ограниченной замкнутой области У$(хх.....xq) пространства q
переменных ху, ...,xq, называются функционально зависимыми, если существует функция F(ux.....ир) со следующими свойствами:
(а) она определена во всем пространстве переменных их, . . ., и^. и имеет там непрерывные частные производные первого порядка;
(Р) она не равна тождественно нулю ни в какой подобласти пространства переменных щ.....ир\
(у) в области © имеет место соотношение
Ф(хх, .... xq) — F(их(хх.....xq).....ир(хх, .... xq))~0.
Определение 2. Функции (12), заданные в открытой области, называются функционально зависимыми, если они зависимы в смысле определения 1 в каждой ограниченной замкнутой подобласти.
Определение 3. Якобианом, определителем Якоби или функциональным определителем для п функций
.....хп).....ип(ху.....х„), (13)
') При F (и, v) == v — Q (и) соотношение (9) переходит в предшествующее ему равенство.
Более общо') для таких функций справедливо равенство
F(u(x, у), v(x, у)) = 0. (9>
где F (и, V) имеет непрерывные частные производные первого порядка и
1^1 + \FV\ >0. (10>
Дифференцируя (9) по обеим независимым переменным
мы, в силу (10), получаем:
.28
ГЛ.1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
