Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Н. М. Гюнтер, Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, ГТТЙ, 1934;
В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физмат-гиз, 1959;
Ф. Т р и к о м и, Лекции по уравнениям в частных производных, ИЛ, 1957;
И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, «Наука», 1964:
Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», 1964;
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958;
Л. Э. Э л ь с г о л ь ц, Дифференциальные уравнения, Гостехиздат, 1957;
П. К. Р а ш е в с к и й, Геометрическая теория уравнений с частными производными, Гостехиздат, 1947. — Прим. ред.]
ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Введение
1.1. Общие понятия, обозначения и терминология. Общее (неразрешенное) дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции z = z (xv .... хп) п независимых переменных имеет вид
F(*i.....z-ik.....-i!k)=0- (1)
Здесь F — заданная функция 2« —|— 1 аргумента. Решением, интегралом или интегральной поверхностью этого дифференциального уравнения (1) называется любая функция z = ty(xx, .... хп), непрерывно дифференцируемая в некоторой области ®(хг.....хп) и обращающая в этой области соотношение (1) в тождество.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, разрешенное относительно одной из производных (нормальная, или каноническая форма уравнения), имеет вид dz s I дг дг \
14 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |1.2
') [Иногда их называют обозначениями Монжа. — Прим. ред.] 2) [В некоторых книгах можно встретить и иную терминологию. — Прим. ред.]
Здесь / — заданная функция 2«-f-2 аргументов; независимые переменные обозначены теперь через х, уи уп, искомой является функция z — z(x, ух, уп).
Введем сокращенные обозначения1):
дг dz dz . Р = Ж- "v=-g^. 1v=s^- v=l.....в; (3)
тогда дифференциальные уравнения (1) и (2) будут выглядеть соответственно следующим образом:
F(xb .... хп, z. рх, .... рп) = 0 (1а)
и
P = f(x, У\.....Уп> z, qx.....qn). (2а)
Эти уравнения можно записать еще короче в векторной форме:
F(r, г, р) = 0 (16)
и соответственно
P = f(x, у, z, q); (26)
здесь г, р, у, q означают следующие векторы:
r={jflf .... *„}, />={/>,.....р„].
У={у1.....Уп). ^= {^1.....Чп\-
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции z и ее производных, и квазилинейным, если оно линейно относительно производных (линейность по z здесь не предполагается)2). Общий вид квазилинейного уравнения
и
2ifv(r,z)pv = g(r,z) (4)
и линейного
и
2 Д WPv+fo(T)z = f (г); (5)
v=l
здесь использованы сокращения (3) и (За). Если в последнем случае также еще /0 = / = 0, то дифференциальное уравнение называется однородным.
1.2. Замечания о решениях. Каждое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка находится в тесной
2.1] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 15
связи с некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений— системой так называемых характеристических уравнений данного дифференциального уравнения в частных производных. Решение последнего строится из решений этой характеристической системы; оно однозначно определено, если задана начальная кривая
сама не являющаяся характеристикой, и, кроме того, для точек этой
дг дг ,„
кривой заданы значения производных —, ..., -3—, (Для линейных
и квазилинейных уравнений достаточно только начальной кривой (6).) Строгая формулировка этого фундаментального предложения, которая будет дана ниже, содержит еще ряд дополнительных предположений.
Существенное влияние на решения и, в частности, на однозначность решений оказывает вид области, в которой ищется решение (см. п. 2.6 (д)). Поэтому в общей теореме, которая будет сформулирована впоследствии, на область налагаются необходимые ограничения. Они не являются наиболее общими, но будут по возможности просто описывать область (все пространство, параллельная полоса или прямоугольный параллелепипед). При специальных методах решения отказываются от задания области, так как при применении их на конкретных примерах получают область гораздо более точную, нежели на основании общих рассмотрений.
§ 2. Линейное однородное уравнение с двумя независимыми переменными: f{x, у) p-\-g{x, у) q — 01)
2.1. Геометрическая интерпретация. Простейший тип дифференциального уравнения в частных производных первого порядка—линейное однородное дифференциальное уравнение для одной неизвестной функции z~z(x, у) двух независимых переменных:
хх = хх{€), .... xn = xn(t), z = z(t),
(6)
72
/(*. У)
дг дх
О
(1)
или
fix, y)p-\-g(x, y)q
0.
(la)
Здесь для сокращения положено
') Изложение следует книге Камке, DGlen, стр. 29G—321. [См. также литературу, указанную перед § 1.—Прим. ред.]
