Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
6.9. Методы решения...................... 74
§ 7. Система квазилинейных уравнений............... 74
7.1. Частный случай...................... 74
7.2. Общая квазилинейная система............... 76
Глава 11. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными .................... ... 78
§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология . . ....... 78
8.1. Геометрическая интерпретапия уравнения ......... 78
8.2. Геометрическая интерпретация характеристик........ 80
8.3. Определение полосы.................... 82
8.4. Вывод характеристической системы............. 82
8.5. Другие выводы характеристической системы........ 84
8.6. Обыкновенные и особые плоскостные элементы....... 87
8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности..... 88
8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы........ 89
§ 9. Метод Лагранжа......................... 90
9.1. Первые интегралы..................... 90
9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов........ 92
9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла....... 95
9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов нз двух неочевидных первых интегралов........... 96
9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла .... 97
9.6. Решение задачи Коши................... 99
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 10. Некоторые другие методы решения............... 101
10.1. Нормальная задача Коши................. 101
10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 103
10.3. Частный случай: р — f (х, у, г, д)............. 104
10.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций..................... 106
10.5. Более общие разложения в ряды............. 107
10.6. Методы решения..................... 110
§11. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными...................... 111
11.1. F (х, у, г, р) = 0 и F {х, у, г, д) = 0........... 111
11.2. F(p,g) = 0....................... Ill
11.3. F(z, р, д) = 0...................... 112
11.4. p = f(x, д) и g = g(y, р)................ 113
11.5. / (х, p) = g (у, д) и F If (х, />ф (z) ), g (у, ду (г) ) ] = 0 . . 113
11.6. f(x, p) + g(y, д) = г.................. 113
11.7. Р = /(^. д) и f\±, р, д, xp+yg-z} = 0...... 113
11.8. F (хр 4- уд, г, р, д) = 0................. 114
11.9. р* + д* = f(x2 + y\ ур — хд).............. 114
11.10. F[f(x)p, g(y)g,z]=0................. 114
11.11. / (р, д) = хр -(- уд; / однородна по р, д.......... 115
11.12. z^xp + yq + f{p, д) и F {р, д, г — хр — у<т) = 0 . ... 116
11.13. F (х, у, р, д) = 0.................... 117
11.14. F (х, у, г, р, 9)=0. Преобразование Лежандра...... 118
11.15. F{x, у, г, р, д)—0. Преобразование Эйлера....... 119
11.16. F{xp — г, у, р, д) = 0.................. 120
11.17. xf{y, р, xp — z) + gg(y, р, xp — z) = h(y, р, xp — z) . . 120
11.18. gf (и) = хр — уд; хд / (и) = хр — уд; xf (и, р, д) +
+ yg P,g) = h (и. Р, д), где и = хр + уд — z..... 120
Глава III. Нелинейные уравнения с п независимыми переменными .......................... 121
§ 12. Нелинейное уравнение с п независимыми переменными: F (г, г, р)=0 121
12.1. Общие понятия, обозначения и терминология....... 121
12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности . 123
12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь производные искомой функции.............. 124
12.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций.................... 126
12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 126
12.6. Частный случай: р = / (х, у, z, q)............ 128
12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного 130
12.8. Метод Якоби....................... 133
12.9. Частный случай: р = / {х, у, д)............. 134
12.10. Приложение к механике................. 136
12.11. Оценка Нагумо..................... 137
§ 13. Решение частных видов нелинейных уравнений с п независимыми
переменными.......................... 138
13.1. F(p) = 0......................... 138
13.2. F(z, р) = 0........................ 139
13.3. F [/, (хи р, Ф (z) )...../„ {хп, рп<р (z) )] = 0........ 139
13.4. Однородные уравнения.........•......... 140
13.5. F(r, г, р) = 0. Преобразование Лежандра......... 140
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
ft — I a
13.6. 2A>/v= S Vv-/п+ь где l<fe<n и /v =
v=l v=ft
= /v(*l.....*ft-l. Pft. Pn, S xvPv~* ....... 141
\ V = A /
13.7. * = *,/?,+ ... +xnPn + f(pl, .... />„)........... 142
§ 14. Система нелинейных уравнений................. 142
14.1. Частный случай: pv = fv(r, у, z, q), v = 1, .... m..... 142
14.2. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области аналитических функций......... 143
14.3. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области действительных функций. Метод Майера
для решения якобиевой системы.............. 143
14.4. Скобки Якоби и Пуассона................. 145