Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
где функции ф! и ф2 непрерывно дифференцируемы и таковы, что
ф(ф!(0, ф2(0) = с
После дифференцирования этого соотношения по t получается: Рис. 3.
% • %) ?>i + Фу (^1 • Ф2) ъ = °-
Так как функция i}> удовлетворяет уравнению (1), то имеем:
/(ф,, ф2)1))л.(ф1, Ф2) + ё-(Ф1. Ф2)ч'у(ф1. ф2) = 0.
Если iM'jrl —|— |"фу| > 0 всюду, то из этих двух соотношений следует, что
<Pig"(<Pi. Ф2) —Ф2/(фг Ф2) = 0.
При условии, что переменная t изменяется нужным образом, яснс что предыдущее соотношение выполняется, если')
q>i = / (ч>1 • ф2> ф2=е (ф, . ф2>
Итак, проекции линий уровня на плоскость XOY заданы этими двумя не зависящими от дифференциальными уравнениями и, следовательно, для всех интегральных поверхностей одинаковы.
На основании сказанного можно теперь предложить следующий способ отыскания интегральных поверхностей: находим интегральные; кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений
*'(*) = /(¦*. У). y'V) = g(x. У)
(которые представляют собой проекции линий уровня искомой поверхности) и поднимаем эти кривые на подходящую высоту так, чтобы они образовали некоторую непрерывно дифференцируемую поверхность z — ty(x, у). Этот принцип является важнейшим при конструировании интегральных поверхностей, и именно таким образом фактически строятся (см. пп. 2.3, 2.4, 2.5) интегральные поверхности дифференциального уравнения (1). Делая необходимые обобщения, мы на этом пути получим также решения некоторых более общих уравнений.
') При этом предполагается выполненным условие | / (х, у) | -f-1 g (х, у) |> О,, а также, что ц>[ и (р2 нигде не обращаются в нуль одновременно.
2.3] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 19
') При этом допускаются также «кривые», которые состоят только из одной точки, т. е. для которых функции (t) и q)2 (t) являются одновременно постоянными.
2) [В отличие от (4), кривые (2) называют иногда проекциями характеристических кривых — см. Курант, стр. 72, 79. Следует отметить, что ¦строго установившаяся терминология здесь отсутствует, и потому в различных книгах можно встретить термины, отличные от используемых здесь, или те же термины, но употребляемые несколько в ином смысле. В соответствии с оригиналом мы будем кривую (2) называть характеристической кривой, а кривую (4)—характеристикой.—Прим. ред.]
3) [Автор называет их также уравнениями Лагранжа. — Прим. ред.]
2
2.3. Характеристики и интегральные поверхности. Идеи п. 2.2 (в) осуществляются следующим образом. В силу предположения п. 2.1 относительно функций fug, через каждую точку (|, rj) области © проходит по крайней мере одна интегральная кривая')
х = ф, (О, у = Ф2 (О. (2)
удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений
*' (О = / (х, у), у' (t) = g (х, у). (3)
Каждая такая кривая или соответствующая ей пространственная кривая
х = ф,(0, 3> = Ф2(0. z = c, (4)
с произвольной константой с называется характеристической кривой или просто характеристикой2) дифференциального уравнения (1). Дифференциальные уравнения (3) называются по отношению к уравнению (1) характеристическими уравнениями^) или характеристической системой.
Справедливы следующие утверждения:
(а) Каждый интеграл z = ty(x, z) уравнения (1) постоянен вдоль каждой характеристической кривой (2), т. е. ty(ty\(t), tf2(t)) = const. Константа меняется в зависимости от выбранной характеристической кривой.
(б) Каждая характеристика (4), которая имеет хотя бы одну общую точку с интегральной поверхностью уравнения (1), целиком лежит на этой поверхности. Таким образом, каждая интегральная .поверхность построена из характеристик..
(в) Если две интегральные поверхности уравнения (1) имеют общую точку, то они имеют общей и всю характеристику, проходящую через эту точку.
(г) Функция ty(x, у) заведомо есть интеграл уравнения (1), если она: (а) непрерывно дифференцируема в © и
(Р) вдоль каждой характеристической кривой (2) постоянна. Из (а) и (г) следует:
20 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |2.4
Рис. 5. Рис. 6.
начало координат х = 0, у — 0, являются плоскости z = const. В любой области плоскости XOY, не содержащей начала координат, имеются еще и другие интегральные поверхности (коноиды, рис. 5).
(в) yp — xq^Q.
Из характеристических уравнений х' = у, у' — — х находим: хх' -{- у у '=0 или хг-\-у" — const, т. е. все характеристические кривые являются концентрическими окружностями с центром в начале координат. Интегральные
(д) Интегралы уравнения (1) — непрерывно дифференцируемые функции z — ^ (х, у), которые в своей области определения вдоль каждой характеристической кривой принимают постоянные значения.
2.4. Решение уравнения посредством характеристик. Если
известны характеристики, то в ряде случаев предложение п. 2.3 (д) легко приводит к полному обозрению интегральных поверхностей. Покажем это на нескольких примерах:
(а) ар + bq — 0.
Из характеристических уравнений х' = а, у' = Ь следует: х = at -\- А у—Ы-\-В (А, В — произвольные постоянные). Таким образом характеристические кривые и характеристики образуют семейство параллельных прямых. Поэтому интегральными поверхностями данного уравнения являются всевозможные гладкие цилиндрические поверхности, образующими которых служат эти параллельные прямые (рис. 4).
