Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
[2.7
от п независимых переменных, имеющих непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области © (хх, .... хп), называется определитель
J(xx, .... хп)—
дщ
дщ
д (и., .
Hxl' " *
'' дхп
д (xi, .
• » хп)
ди„
дип
dxi '
" дхп
Критерий Якоби функциональной зависимости функций.
(а) Если функции (13), заданные в открытой области ®(ху.....хп),
имеют непрерывные частные производные первого порядка, то они функционально зависимы тогда и только тогда, когда их функциональный определитель
J(xlt .... ж„) = 0>).
Примечания. 1) Зависимы ли функции (13), легко устанавливается с помощью приведенного критерия. Подход, основанный на явном отыскании функции F, довольно труден.
2) Вообще говоря, не следует отказываться от сложного определения зависимости и, в частности, от анализа в определениях 1 и 2, даже если лредложение (а) выполнено. Рассмотрим пример (п = 2):
и (х, у) = sin х, } v (х, у) — sin х2. )
"Функциональный определитель, очевидно, тождественно равен нулю. Если -во всей плоскости переменных х, у было бы выполнено условие (\) в определении 1, т. е.
Ф (х, у) = F {и (х, у), v (х, у) ) ^0, то тогда мы получили бы
F (и, v) = 0 в квадрате [и |< 1, |»|<1.
В самом деле, в силу (*), F (и, v) обращается в нуль на всюду плотном -множестве точек квадрата, и остается лишь использовать непрерывность этой функции Однако, тождественное обращение функции F (и, v) в нуль на квадрате противоречит условию ((5).
Этот пример, в частности, показывает, почему для открытых и замкнутых множеств были даны разные определения 1 и 2.
(б) Если функции (12) имеют в @(х,, ..., xq) непрерывные частные производные первого порядка, то при условии, что р > q, они функционально зависимы.
') Хотя этот критерий был известен давно, впервые его четко сформулировали и строго доказали К. К п о р р una R. Schmidt, Math. Zeltschrift 25 (1926), стр. 373—381. См. также A. Ostrowski, Jahresberlcht DMV 36 (1927), стр. 129—134.
2.8] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 29
в © имеет ранг р, т. е. если в © существует хотя бы одна точка, в которой по крайней мере один минор порядка р этой матрицы отличен от нуля!).
(г) Если функции tii(xu---- дг„+1).....ип(хх.....дг„+1)
имеют в ©(Xj, .... хп+х) непрерывные частные производные первого и второго порядка, то они функционально зависимы в том случае, когда функциональная матрица ..., ип) ^ каждой точке
о (х,, ..., xn+i)
области © имеет наивысший ранг п — 1, т.е. когда каждый определитель порядка п во всей области равен нулю2).
2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши. Возвращаясь к общему уравнению (1), предположим, что функции f(x, у) и g(x, у), как и раньше, непрерывны в ®(дг, у) и, кроме того, ни в какой подобласти области © не обращаются одновременно в нуль.
(а) В этих предположениях любые два интеграла дифференциального уравнения (1) функционально зависимы в области ©.
(б) Назовем главным интегралом в области © такой интеграл уравнения (1), который ни в какой подобласти этой области не постоянен. Верно следующее предложение:
Если ty(x, у) — главный интеграл дифференциального уравнения (1) в области ®(дг, у), то множество всех интегралов в @(дг, у) состоит только из тех функций %(дг, у), которые имеют в © непрерывные частные производные первого порядка и которые функционально зависимы с if.
Если ©—характеристическое поле и \J)j, =j= О, то все интегралы можно получить из формулы х(дг, у) = to (яр (дг, у)), где to (я)
') При р = q — п левая часть следующего равенства, согласно определению 3, имеет двойное значение — она означает, с одной стороны, функциональную матрицу, а с другой, — функциональный определитель. В последующем, однако, всегда будет ясно, что именно имеется в виду.
2) См. О. Doetsch, Math. Annalen99(1928), стр. 590—601; А. В. Brown, Transactions Americ. Math. Soc. 38 (1935), стр. 379—394; A. Sard, Bulletin Americ. Math. Soc. 4S (1942), стр. 883—890; M. К n e s e r, Math. Zeitschrlft 54 (1951), стр. 34—51, 55 (1951/52), стр. 400; E. Камке, Math. Zeitschrift 39
(1935), стр. 672—676.
(в) Функции (12) при условии, что р<С°> функционально независимы в © в том случае, когда функциональная матрица1)
30 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ '2J8
') Е. Камке, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 287—294, 41 (1936), стр. 56—66).
2) [См. обозначения в п. 2.6 (а) или Камке, стр. 59 и 67. Поскольку правые части характеристической системы (3) не зависят от параметра t, то характеристические функции имеют как раз указанный здесь вид (см. примечание 2) на стр. 52). Для справедливости приводимого в настоящем пункте результата надо потребовать, чтобы коэффициенты уравнения (1) были непрерывно дифференцируемы.— Прим. ред.]
пробегает все непрерывно дифференцируемые функции, определенные для значений if>.
(в) Если функции / и g в односвязной области © k раз непрерывно дифференцируемы (&>- 1) и если там |/| -\- \g\ > 0, то в каждой ограниченной подобласти С|?®, не имеющей общих то»ек с границей ©, дифференциальное уравнение (1) имеет главный интеграл ty(x, у); функция ip(x, у) является k раз непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет неравенству j "ф^ | -4- | -фу [ > 0J).
