Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Если функции (5) образуют в области © интегральный базис дифференциального уравнения (1), то множество всех интегралов уравнения (1) в этой области состоит из всех тех непрерывно дифференцируемых в © функций, которые функционально зависимы с функциями (5).
Относительно выражения любого интеграла через интегральный базис в некотором характеристическом поле см. п. 3.6(6).
Если (5) — фундаментальная система интегралов уравнения (1), для которой функциональная матрица (5а) в каждой точке области ©. имеет ранг п—1, и если i];v дважды непрерывно дифференцируемы, то
л-1 v=l
— полный интеграл в смысле п. 12.1.
(б) Если требуется найти интеграл уравнения (1), обращающийся при хх = g в некоторую данную функцию to (х2, • . •, хп) (задача Коши) при условии, что известен интегральный базис (5) этого уравнения, то разыскивают непрерывно дифференцируемую функцию О («j.....un-i) такую, чтобы
0(1]?!, .... ФП-1) = «(Х2, .... хп) для х, = |. Тогда (см. п. 3.1)
*(r) = Q (ф,(г).....ilViM)
есть интеграл требуемого вида (ср. с п. 2.5(г)). Этот метод может быть также использован для удовлетворения более общих начальных условий.
Если в примере 3.3 (б) требуется найти интеграл w (х, у, г), принимающий значение
w (х, у, г) = у2 — г2 при х=-у,
3*
36 ГЛ: I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |3.5
область © отображается взаимно однозначно!) на область © (уи ...
у„). При этом функции fk+l...../„, которые зависели от xv,
перейдут в функции Д+1...../л, зависящие от yv.
После замены получается уравнение
п
2 7v(yi.....у^о^=° <8)
относительно функции ?, причем здесь yfc+1.....у„— независимые
переменные, a yj.....yk — параметры. Если
$k+i(yv ••-> Уп).....Фя-1 (У1.....Уп) (9)
') Взаимная однозначность вытекает из условия (6а).
то определяют функцию ii (и, v) так, чтобы
Й (Ф,, ty2) = у2 — гг2 при х = у,
т. е.
Q (и, v) = у2 — гг2 для и = у2, v = 2у -|- у2 -f- г2. (*)
Если разрешить последние два уравнения (*) относительно у и г и подставить результат в первое уравнение (*), то получится выражение для функции Q:
Q (и, v) = 2(u± У~й) — v.
Итак, искомый интеграл для ху > 0 имеет вид
w (х, у, z) = G №„ i|)2) = 2 (ху ± У*у) — 2х — у2 — г2;
знаки -f- или — требуется брать в зависимости от того, положителен или отрицателен у.
3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные интегралы. Если уже найдены некоторые частные интегралы дифференциального уравнения (1), то его можно свести к уравнению с меньшим числом независимых переменных.
(а) Пусть в области © известно k < п — 1 интегралов уравнения (1):
*i(r).....Ф*(г). • (6)
и пусть в этой области функциональный определитель
'!?:::::: да»
Преобразованием независимых переменных
У1 = Ь Oi.....х„), .... уй = % (av .... *„), (7)
3.5] § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 37
— интегралы уравнения (8) в ©, которые по всем своим аргументам имеют непрерывные частные производные и для которых в этой области якобиан
д(У*+1. .... Уп-i)
то функции фй+1.....4>n-v получающиеся из функций (9) преобразованием, обратным к (7), вместе с функциями (6) образуют в © интегральный базис уравнения (1); другими словами, во всех точках области © якобиан
<НФь .... vhi-i) , 0 d(*i.....*n-i)
По поводу редукции при помощи мультипликаторов смотри п. 3.8.
... л dw . dw dw
(б) Пример, -a-^ + xz-gy---*y-g7 = 0-
Второе и третье уравнения характеристической системы
х' = 1, у' — хг, г' = — ху
дают нам соотношение уу' -f- гг' = 0, которое показывает, что y2-\-z2 = const вдоль каждой характеристической кривой. Таким образом, в силу п. 3.2 (б) •ф, = у2 -f- г2 — интеграл.
Сделаем, далее, замену переменных (см. (7)):
х = х, у = у8 -f- г2, г=г;
при этом преобразовании полупространство у > 0 взаимно однозначно отображается на внутренность параболического цилиндра у > г2, причем там
¦д^1 ф 0. Поэтому можно применить изложенный в (а) метод.
Уравнение (8) в данном случае принимает вид
dw — ,/-=-= dw . , ж
уу_22—= 0; (•)
dx dz
его характеристическое уравнение (см. п. 2.6)
dx
(у — параметр) немедленно интегрируется разделением переменных. Решая его. находим интеграл уравнения (*):
Arcsin —i хг. В силу п. 3.1, синус этой функции — снова интеграл, т. е.
V'y
есть решение уравнения (*)
38 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 13.6
1 / х2 х2\
¦ф = —, I у sin--(- г cos — I.
Vy2 + z2 v Z 2 1
Согласно п. 3.1, любая непрерывно дифференцируемая функция интегралов ¦ф и i^i — снова интеграл; в частности,
__ х2 х2
ф2 = фУ ty, = ysin -y-f zcos-^-
— также интеграл исходного дифференциального уравнения.
Функции ф2> как легко можно показать, образуют во всем пространстве интегральный базис данного дифференциального уравнения.
(в) Для практического вычисления удобнее другая форма редукционного метода. Мы рассмотрим ее использование на том же примере, что и в (б).
