Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
п
с п независимыми переменными: ^?ifv(r)pv = Ql)
v=l
3.1 Определения и замечания. Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции z — z (хг, .... хп) п независимых переменных имеет вид (ср. с п. 1.1)
п
?/v(*i.....хп)~^=° о)
v=l
') Изложение следует книге Kamke, DOlen, стр. 321 — 330. [См. также литературу, указанную перед § \.—Прим. ред.]
3-й] § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 33
или, употребляя обозначения г вместо вектора с компонентами
_ дг
х1.....хп и Рм— ~дх^'
S/v(OPv = 0. (la)
v=l
Дифференциальное уравнение будет рассматриваться всегда только в такой области ©(г) пространства переменных хх.....хп, в которой коэффициенты fv(r) непрерывны.
Каждое дифференциальное уравнение (1) имеет, очевидно, тривиальное решение z = const; интегралы, отличные от тривиального, мы будем называть нетривиальными.
Если яр](г), .... грт(г) — интегралы уравнения (1) в © и если Q (их.....ит)— функция, определенная на области значений функций ipv и имеющая непрерывные частные производные первого порядка, то, как легко установить, сложная функция
X(r) = Q(*,(r). .... фга(г))
также является интегралом уравнения (1).
3.2. Характеристики и интегральные поверхности.
(а) Характеристическими уравнениями (характеристической системой), соответствующей дифференциальному уравнению (1), называют систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
<(0 = /vW. v=l.....п. (2)
Каждая интегральная кривая
х1 = ф1(0.....*„ = ф„(0 (3)
этой системы или также соответствующая ей кривая
*i = Ф1 it), .... хп = ф„(t), z = c (4)
(с — произвольная постоянная) называется характеристикой*) дифференциального уравнения (1).
(б) Между интегралами дифференциального уравнения (1)—с одной стороны, и характеристиками — с другой, существует следующая важная связь:
Функция ip(r), имеющая непрерывные частные производные первого порядка в ©, тогда и только тогда является интегралом дифференциального уравнения (1), когда она вдоль каждой характеристической кривой (3) постоянна, т. е. когда Ф(ф1(0> Фл(0) = = const для любой кривой (3).
[) В отличие от (4), интегральные кривые (3) мы будем называть также характеристическими кривыми.
3 Э. Камке
34 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3.3
(в) Если две интегральные поверхности ipt(r) и гр2 (г) уравнения (1) имеют хотя бы одну общую точку (r0, z — с), то они также имеют общей и всю характеристику, проходящую через эту точку.
3.3. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений. С помощью 3.2 (б) удается в ряде случаев отыскивать решение конкретного дифференциального уравнения типа (1). Этот метод мы продемонстрируем на двух примерах.
dw , dw , , dw „ (a) x-dx- + y-dJ + ix2 + y^-dF = 0-
Искомая функция здесь w — w (х, у, г). Характеристические уравнения имеют вид
х' (0-х, у'(0 = У. z'(t)=*x2 + y*. Из первых двух характеристических уравнений следует, что
х
ух' — ху' = 0, или — = const,
У
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому функция ф, = — —
интеграл в каждой из полуплоскостей у > 0 и у < 0. Из всех трех характеристических уравнений, далее, получаем:
2x*'-+-2yy' — 2* =0, или x2-f у2— 2г = const,
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому функция ф2 = х2 -J- у2— — 2г— также интеграл. Таким образом, функции и i]>2 образуют интегральный базис (см. п. 3.4)
dw dw , , ,
Первые два из характеристических уравнений
х' (г) = хг, у' (г) = - у г, г' (t) = у2 — х
дают нам соотношение
ух' -f- ху' — 0, или ху = const,
вдоль каждой характеристической кривой; все три уравнения дают другое соотношение:
х' -f- уу' гг' = 0, или 2х -\- у2 -f- х2 = const,
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому ty, = ху и ф2 = 2х -f-+ у2 -f- г2 — интегралы данного дифференциального уравнения, образующие базис (см. п. 3.4).
Как показывают приведенные примеры, иногда можно, удачно комбинируя характеристические уравнения, получить интегрируемую комбинацию, первообразная которой не зависит от параметра i.
3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши. (а) Система п— 1 интегралов
4>iv>).....4>«-iir) (5)
3.41 § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 35
дифференциального уравнения (1) в области © называется фундаментальной системой интегралов (интегральным базисом), если функциональная матрица (см. п. 2.7(b))
*"-¦> (5а)
д(хи хп) v '
в каждой подобласти области © имеет ранг п— 1, т. е. если там по крайней мере один определитель (и — 1)-порядка хотя бы в одной точке отличен от нуля.
В силу п. 2.7(b) в каждой подобласти области © функции
.... Vn-i между собой функционально независимы. Обратно, из п. 2.7 (г) следует, что п—1 дважды непрерывно дифференцируемых интегралов, независимых в каждой подобласти, образуют в области © интегральный базис.
