Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
sin —
X
20. Функция, равная 1 для рациональных х и равная 0 для иррациональных X (см. гл. II, пример XVI.10), разрывна при всех значениях х. То же справедливо и в отношений функций, определенных только для рациональных или только для иррациональных значений х.
21. Функция, равная X для иррациональных значений д; и равная ^/^-і-І^
при л:=—(см. гл. II, пример XVI.11), разрывна для всех отрицательных н Я
положительных рациональных значений х, но непрерывна для всех положительных иррациональных значений.
22. В каких точках разрывны функции, рассмотренные в гл. IV (примеры XXXI), и какова природа этих разрывов? [Рассмотрим, например, функцию у = Hm Xя (см. пример 5). Здесь у определено только, если — 1 < X :?: 1; у равно 0 при — 1 < х < 1 и равно 1 при лг = 1. Точки лг = 1 и лг=—1 являются точками простого разрыва.]
101. Основное свойство непрерывной функции. „Непрерывная кривая" с точки зрения здравого смысла обладает еще одним характеристическим свойством. Пусть AnB — две точки на графике ср (х) с координатами лг0, ср(х0) и X1, Cp(X1) и пусть X—'Прямая, проходящая между А и В. Тогда представляется очевидным, что если график непрерывен, то Он должен пересечь X.
Ясно, что если мы рассматриваем это свойство как геометрическое свойство, присущее непрерывным кривым, то мы ничего не потеряем в общности, предполагая, что X параллельна оси х. В этом случае ординаты А и В не могут быть равны; допустим для определенности, что Cp(X1)^Cp(X0). Пусть X — прямая y = f\, где ср (х„) <^ч]<^ср (X1). Тогда утверждение, что график ср(х) пересекает X, равносильно утверждению, что между X0 и X1 найдется такое значение X, для КОТОРОГО Cp(X) = T).
Мы заключаем, следовательно, что непрерывная функция ер(х) должна обладать следующим свойством: если
ф(*0) = у0, ф (X1)= Jf1
и у0<^"г\<СУи то между X0 и Xi существует такое значение X, что ср (лг) = y]. Другими словами, когда х изменяется от X0 до X1,
*) Или, что более принято, точкой разрыва второго рода. (Прим. перев.
Пределы функций от непрерывного переменного 189
ср (х) должно по крайней мере один раз принять каждое значение между у0 и yt.
Докажем теперь, что если ер (х) — непрерывная функция от х в смысле определения п. 99, то она действительно обладает этим свойством. Правее X0 существует некоторый интервал значений х, для которых ep(x)<^Tj. Действительно, ер (X0) <^ f] и, следовательно, со (х) будет заведомо меньше чем tj, если ер (х) — ер (х„) по модулю меньше чем Tj — ер(#0)' Hc- так как ер (х) непрерывна при х=х0, это условие выполняется, если X достаточно близко к х0. Точно так же левее X1 существует некоторый интервал значений х, для которых ер(х)>7].
Разобьем теперь все значения х между x0 и x1 на два класса L и R следующим образом:
(1) к классу L мы отнесем все значения I переменного х такие, что ср(х)<^т| для X = I и для всех значений х между x0 и |;
(2) к классу R мы отнесем все остальные значения х, т. е. все числа I, для которых либо ер(|)^т], либо существует такое значение X между X0 и I, что ер (х) Ss y].
Тогда очевидно, что эти два класса удовлетворяют всем условиям, наложенным на классы L, R в п. 17, и, следовательно, определяют сечение в области действительных чисел. Пусть I0 — число, соответствующее этому сечению.
Предположим сначала, что Co(I0) ^>"чі так что принадлежит к верхнему классу, и пусть ер (I0) = ttj А. Тогда ер (I') <^ т] и, значит,
9 (U - 9 (О > k
для всех значений I', меньших чем I0, что противоречит условию непрерывности при X = I0.
Далее предположим, что ср(|0) = т]— ?<С"ч- Тогда, если I'— любое число, большее I0, то либо ер (I') Ss т), либо мы можем найти между I0 и I' такое число |", что ep(!")Si=Tj. В каждом случае мы можем найти числа как угодно близкие к I0, для которых соответствующие значения ер (х) будут отличаться больше чем на k. А это опять противоречит предположенной непрерывности ер(х) при X = I0.
Следовательно, ср(10) = т], и теорема доказана. Следует отметить, что мы доказали больше, чем явно утверждается в теореме; в действительности мы доказали, что !„ является наименьшим значением х, для которого ер(х) = т]. Между тем совсем не очевидно и, вообще говоря, неверно, что среди значений х, для которых функция принимает данное значение, существует наименьшее; однако, как мы видели, для непрерывных функций это так.
Легко видеть, что теорема, обратная только что доказанной, неверна. Так, например, функция, график которой изображен на фиг. 28, очевидно, принимает по крайней мере один раз каждое значение между ср (х„) и ср (X1), а вместе с тем она разрывна. Неверно и то, что функция ср (х) должна быть
І90
Глава пятая
непрерывной, если она принимает каждое значение один и только один раз. Пусть, например, у (х) определена для х между 0 н 1 следующим образом: ср(л;) = 0 при X = 0; tp (л;) = 1 — х для 0 < х < 1, н tp (х) = 1 прил; = 1. График этой функции изображен на фиг. 29; он содержит точки О, С, но не содержит точек А, В. Ясно, что когда х изменяется от 0 до 1, tp (л;) принимает один и только один раз каждое значение между tp (0) = 0 и tp (1) = 1; но tp (а;) разрывна при д; = 0 и х=\.
