Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Определение, соответствующее данному в п. 69, читается так: функция со (х) называется монотонно возрастающей вместе с х, если ? (xs) Ss= <f {*i) для всех X2 > X1. Во многих случаях это условие удовлетворяется, только начиная с некоторого определенного значения х, т. е. для х2 > X1 X0. В теореме п. 69 иужио лишь заменить я иа х; ее доказательство остается по существу тем же.
174
Ґлаба пятая
Если tp (х2) > <р(X1), причем равенство исключается при xt>хг, то tp (х) называется строго возрастающей. Мы увидим, что это различие часто играет важную роль (см. пп. 109—ПО).
Читателю предлагается рассмотреть, являются ли следующие функции возрастающими вместе с х (или хотя бы возрастающими, начиная с некоторого значения х): х2 — х, х-|- sin х, x-f- 2 sinx, [х], [х] -J- sinx, [х] -J- |/"х—[х]. Все эти функции стремятся к оо при X—VOO.
93. Пределы при X стремящемся к 0. Пусть ср (л:) будет функцией от х, для которой Hm ср(х) = 1, и пусть у = . Положим
x —+ cq х
9 (х) = 9(у)=У ОО-
Когда X стремится к оо, у стремится к пределу 0, и tj/ (у) стремится к пределу /.
Исключим теперь из рассмотрения х и будем считать ^ (у) просто функцией от у. Мы имеем дело только с такими значениями у, которые соответствуют большим положительным значениям х, т. е. с малыми положительными значениями у. Функция <і/ (у) обладает тем свойством, что ее значения могут быть сделаны сколь угодно мало отличающимися от /, если у достаточно мало. Точнее это предложение можно сформулировать так: утверждение lim со (х) = / означает, что для любого сколь угодно малого заданного положительного числа S можно найти такое хй, что \ср(х)— /1 <^ S для всех значений х, больших или равных ха; но это означает, что мы можем
выбрать _у0 = — так, что j<Ji (у) — /|<Г8 для всех положительных
X0
значений у, меньших или равных _у0.
Таким образом, мы приходим к следующим определениям:
A. Если для любого сколь угодно малого заданного положи* тельного числа 8 можно найти такое уй (8), что
ічрОО —'К»,
если О <^у ^y0 (8), то мы говорим, что ср (у) стремится к пре-делу I при у стремящемся к О, принимая только положительные значения (справа), и пишем
Hm со (у) = /.
¦у- +О
b. Если для любого сколь угодно большого заданного числа А можно найти такое уа (А), что
фО)>Д.
если О <^у ^yй (Д), то мы говорим, что ср(у) стремится к оо при у стремящемся к 0, принимая только положительные значения (справа), и пишем:
ср (у)-+оо.
Пределы функций от непрерывного переменного 1?5
Аналогично мы определяем смысл фразы: „со (у) стремится к пределу / при у стремящемся к 0, принимая только отрицательные значения (слева)", или „limcp(y) = / при _y-v — 0". Мы должны для этого только заменить в определении А неравенства 0 <^у ^y0 (8) неравенствами —у0 (Ь)^у<^ 0. Мы имеем, конечно, соответствующий аналог определения В и подобные определения для
фСу)-»-—00
при у-*-+0 или у—*-—со.
Если lim со (у) zz=l и Hm со (у) = /, то мы просто пишем
Hm со (у) = /.
Этот случай настолько важен, что целесообразно сформулировать для него отдельное определение.
Если для любого сколь угодно малого заданного положительного числа S можно найти такое у0 (й), что для всех значений у, отличных от нуля и по модулю не превосходящих _у0 (8), значения ср (у) отличаются от I меньше чем на 8, то мы говорим, что 9 (у) стремится к пределу I при у стремящемся к 0, и пишем:
Hm со (у) zzz= I.
Точно так же, если ср(у)—»-со как при у —»- -j- 0, так и при у—*¦ — 0, то мы говорим, что ср(у)—>Co при у—»-0. Аналогично определяется утверждение со(у)—»- — оо при у—»-0.
Наконец, если 9 (у) не стремится ни к конечному пределу, ни к со, ник —со при у —> -J- 0, то мы говорим, что 9 (у) колеблется (ограниченно или неограниченно, в зависимости от обстоятельств) при уО; аналогично определяется утверждение; „9 (у) колеблется при у —— О".
Предыдущие определения были сформулированы в терминах переменного, обозначенного через у; однако ясно, что обозначение переменного не играет никакой роли, и мы можем предположить, что во всех этих определениях буква у заменена на х.
94. Пределы при X стремящемся к а. Предположим теперь, что 9(у) —при у—>0, и положим
yz=x—a, 9 (у) = 9 (л: — a) == ^ (х).
Если у—*-0, то х-*-а и <}>(¦.*;)—и мы, естественно, приходим к записи
Hm ^ (л;) = /,
х ~* а
или просто Hm ^ (л:) = /, или i}< (х) означающей, что ф (дг) стремится к пределу I при X стремящемся к а. Формальное опреде-
176 Глаёа пятая
ление этого утверждения следующее: если для любого данного 8 мы можем найти є (S) такое, что
|ср(х)-/|<8 при 0<[(х— я I sSe (8), то
Hm со (х) = I.
X -» а
Ограничиваясь значениями х, большими чем а, т. е. заменяя неравенства 0<Г^|х— a I (8) неравенствами а <^ х а -f- є (8), мы получим определение утверждения „ср (х) стремится к / при X стремящемся к а справа", которое мы можем записать в виде
Hm ср (х) =
Таким же образом мы определяем соотношение
Hm со (х) = /.
X —> а — О
Следовательно, утверждение Hm Cp(X)=/ эквивалентно двум утверж-
