Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, каждая точка ? принадлежит к L. Пусть теперь Ъ является правым концом интервала (bx, Ь) из /, и O1 принадлежит к L. Тогда существует такой член ап последовательности alt а2,-а3,... , что an^>bv Но мы можем взять в качестве интервала (ап, an+t)> соответствующего ап, интервал (bx, Ь), и тогда мы получим конечную систему интервалов, обладающую требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Поучительно рассмотреть в свете этой теоремы примеры, приведенный на стр. 194—5.
Пределы функций от непрерывного переменного
197
(1) Здесь условия теоремы не выполнены; точки —, •— , — , ... не
принадлежат ни одному из интервалов из /.
(2) Здесь условия теоремы выполнены. Система интервалов
(О, 2е), (є, Зе), (&, 4е), ...,(1-2е, 1),
соответствующих точкам г, It, Зе, ..., 1 — г, обладает требуемыми свойствами.
(3) В этом случае мы можем, применяя теорему, доказать, что для достаточно малого є в интервале (0, 1) существуют точки, не принадлежащие ни одному из интервалов системы /.
Если бы каждая точка интервала (0,1) лежала внутри некоторого интервала из / (с очевидными оговорками, относящимися к концам), то мы могли бы найти конечное число интервалов из /, обладающих тем же свойством и имеющих, следовательно, общую длину, превосходящую 1. Но мы имеем следующие интервалы: два интервала общей длины 2є для 9 = 1 и q — 1
«- » г. q — і
интервалов общей длины 2 є -—j— для каждого из остальных значении q.
Общая длина любого конечного числа интервалов из / не может поэтому превосходить произведение 2s на ряд
1 4- 1 4- 2 4- 3 4-
1 + 2* + З3 + 4*" + ' " '
который, как будет показано в гл. VIII, сходится. Следовательно, если е достаточно мало, предположение, что каждая точка интервала (0, 1) лежит внутри одного из интервалов системы I, приводит к противоречию.
Читателю может показаться, что это доказательство излишне сложно и что существование точек в интервале (0, 1), не принадлежащих ни одному из интервалов системы I, сразу следует из того, что сумма длин этих интервалов меньше 1. Но теорема, на которую это рассуждение опирается (если система интервалов бесконечна), далеко не очевидна и может быть строго доказана только с помощью теоремы Гейне — Бореля.
107. Колебание непрерывной функции. Применим теперь теорему Гейне — Бореля к доказательству двух важных теорем, относящихся к колебанию непрерывной функции.
ТЕОРЕМА I. Если ее (х) непрерывна в интервале (а, Ь) *), то мы можем разбить (а, Ь) на конечное число частичных интервалов (a, X1), (х1г X*), (х„, Ь), в каждом из которых колебание со (х) будет меньше любого заданного положительного числа 8.
Пусть і; — любое число между а и Ъ. Так как ф(х) непрерывна при х = 1, то мы можем найти такой интервал (S — в, S -j- є), в котором колебание ср(х) будет меньше чем 8. Таких интервалов будет, конечно, бесконечно много для каждого S и каждого 8, ибо если условие выполнено для некоторого значения 8, то оно тем более будет выполнено для всех меньших значений. Какие значения є
*) В теоремах I и И опять подразумевается непрерывность в замкнутом интервале (а, Ь). (Прим. перев.)
198
Глава пятая
допустимы, зависит, естественно, от I; пока мы не имеем оснований предполагать, что значение е, допустимое для одного значения ?, будет допустимым для другого. Назовем таким образом поставленные в соответствие точке I интервалы, Ь-интервалами для I.
Если ?=а, то мы можем определить интервал (а, а-\-е) (а следовательно, и бесконечно много таких интервалов), обладающий тем же свойством. Эти интервалы мы назовем 8-интервалами для а и аналогично определим 8-интервалы для Ь.
Рассмотрим теперь систему / интервалов, образованную всеми S-интервалами всех точек из (а, Ь). Эта система, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Гейне — Бореля: каждая внутренняя точка интервала (а, Ь) является внутренней точкой по крайней мере одного из интервалов системы /, и а и Ъ являются каждая концом
Интервалы, составляющие систему /', будут, вообще говоря, перекрываться, например, как на фиг. 31. Но их концы, очевидно, разделят (а, Ь) на конечную систему интервалов /", каждый из которых содержится в некотором интервале из /' и в каждом из.которых колебание ср(х) меньше чем 8. Теорема I, таким образом, доказана.
ТЕОРЕМА II. Если дано любое положительное число Ь, то мы можем найти такое число ч\, что, при любом разбиении интервала (а, Ь) на частичные интервалы длины меньшей чем ч\, колебание ср(х) в каждом из них будет меньше чем 8*).
Возьмем 8i<Cy & и построим так же, как в теореме I, конечную
систему частичных интервалов j, в каждом из которых колебание cp(x) меньше чем S1. Пусть г; будет длина наименьшего из этих частичных интервалов из j. Если мы теперь разделим (а, Ь) на части длины меньшей чем Yj, то каждая такая часть должна целиком лежать не более чем в двух следующих друг за другом частичных интервалах из j. Следовательно, в силу (3) п. 104, колебание в каждой такой части длины меньшей чем Yj не может превосходить удвоенного наибольшого колебания со (х) в частичном интервале системы у, и будет, таким образом, меньше 2S1, т. е. меньше 8.
