Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
*) Функции, обладающие этим свойством, называются равномерно непрерывными. Утверждение теоремы II состоит в том, что функция, непрерывная в замкнутом интервале, равномерно непрерывна в нем. (Прим. ред.)
а
Фиг. 31
b
по крайней мере одного такого интервала. Поэтому мы можем выбрать такую систему /' из конечного числа интервалов системы /, которая обладает тем же свойством, что и /.
Пределы функций от непрерывного переменного
199
Эта теорема играет основную роль в теории определенных интегралов (см. гл. VII). Без помощи этой или аналогичной теоремы нельзя доказать, что функции, непрерывная в интервале, имеет интеграл по этому интервалу.
108. Непрерывные функции от нескольких переменных. Понятия непрерывности и разрывности могут быть распространены на функции от нескольких независимых переменных (см. гл. II, п. 31 и сл.). Их применение к таким функциям связано, однако, с значительно более сложными вопросами, чем те, которые мы рассматривали в настоящей главе. Мы не можем здесь подробно остановиться на этих вопросах, но в дальнейшем мы должны знать, чтб понимается под непрерывной функцией от двух переменных, и мы поэтому дадим здесь соответствующее определение. Оно является прямым обобщением последней формы определения, данного в п. 99.
Функция со (х, у) от двух переменных х и у называется непрерывной при x=l, y = i\, если для любого сколь угодно малого заданного положительного числа 8 можно указать такое е(8),
когда 0 jJf—?)=? s(8) и 0^|_у — т)|^е(8); это означает, что мы можем указать квадрат со сторонами длины 2е(8), параллельными осям координат, и с центром в точке (?, Tj), обладающий тем свойством, что в каждой точке внутри него или на его границе значение у{х, у) отличается оту(?, ч\) меньше чем на 81J.
Гїри этом, конечно, предполагается, что q>(x, у) определена во всех точках рассматриваемого квадрата и, в частности, в точке (?, Tj). Другая форма определения следующая: ср (х, у) непрерывна прах = %, y = i\, если ср(х, у)Tj), когдах-+- S и y-*-i) любым образом. Это определение кажется более простым, но оно содержит фразы, точный смысл которых не был еще разъяснен; для разъяснения же его необходимы неравенства, аналогичные содержащимся в основном утверждении.
Легко доказать, что суммы, произведения и, в общем случае, отношения непрерывных функций от двух переменных сами непрерывны. Многочлен от двух переменных непрерывен для всех значений этих переменных; обычные функции от X и у, которые встречаются в анализе, также, вообще говоря, непрерывны, т. е. непрерывны для всех пар значений х и у, кроме таких, которые связаны некоторыми соотношениями.
Читатель должен особо отметить, что утверждать непрерывность ср (х,у) относительно двух переменных л: и у —это значит утверждать гораздо больше, чем непрерывность относительно каждой переменной, взятой в отдельности.
*) Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстрирующую это определение.
200
Глава пятая
Ясно, что если ср (лг, у) непрерывна относительно лг и у, то она непрерывна относительно лг (или у), когда у (или лг) приписано любое фиксированное значение. Но обратное предложение никоим образом не имеет места. Допустим, например, что
если ни лг, ни у не равен нулю, и ср (лг, у) = 0, когда либо лг, либо у равен нулю. Тогда если у имеет любое фиксированное значение, нулевое или ненулевое, то ср (лг, у) является непрерывной функцией от лг, которая, в частности, непрерывна и при лг=0, так как ее значение при лг=0 равно 0 и она стремится к пределу Оприлг—>-0. Подобным же образом мы убеждаемся в том, что ср (лг, у) является непрерывной функцией от у. Но ср (лг, у) не Является непрерывной функцией от лг и у при лг=0, у = 0. Ее значение при лг = 0, у = 0 равно нулю, но если лг ну стремятся к нулю вдоль прямой у =алг, то
что может иметь любое значение между — 1 и 1.
109. Неявные функции. В гл. II мы уже встретились с понятием неявной функции. Так, если лг и у связаны соотношением
у6 — лгу— у — лг= 0, (1)
то у является „неявной функцией" ot лг.
Но далеко не очевидно, что такое равенство как (1) действительно определяет функцию у от лг или несколько таких функций. В гл. II мы удовлетворились тем, что приняли это за данное. Теперь мы в состоянии рассмотреть, насколько это предположение было оправдано.
Следующая терминология окажется в дальнейшем полезной. Предположим, что вокруг точки (а, Ь) можно построить, как в п. 108, квадрат, в котором выполняется некоторое условие. Такой квадрат мы будем называть окрестностью (а, Ь) и будем говорить, что условие, о котором идеть речь, выполняется в окрестности (а, Ь) или вблизи (а, Ь), понимая под этим нросто то, что можно найти некоторый квадрат, в котором это условие выполняется. Ясно, что аналогичные термины могут применяться и для функций от одного переменного, если только квадрат заменить интервалом на прямой линии.
ТЕОРЕМА. Если 1°/(лг, у) — непрерывная функция от х и у в окрестности (а, Ь),
2° f(a, b) = 0,
3° /(лг, у) для всех значений х в окрестности точки а является строго возрастающей функцией от у (см. п. 95),
