Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Пределы функций от непрерывного переменного 181
1 ' _2_ ' 1 ' 1 Х 2 Х 3 Х~ 4
1
X-I^ I^ I^ 1
X— X--т- X--
2 ~ 3 ~ 4 Стремится ли она к пределу при х—>- 0? [Здесьу = 1, за исключением значений X =1, -j-, -g-, -j-; при этих значениях функция не определена;^ —>-1 при х—>-0.]
13. hm-= 1.
X
[Это может быть выведено из определения тригонометрических функций. Когда X положительно и меньше чем -^- я1), то
или
или
Но
Следовательно,
sinx<x<tg X,
sin X .
cosx <---< 1,
X
„ , Sin X , n ¦ о x
О < 1--< 1 — cos X = 2 sin3
X 2
2sin2f<2(iH2<-2-*2-
Hm M =o, Hm =1,
*— + 0\ * / *-> + 0 *
sin X , „ ,
а так как --функция четная, то получаем искомый результат.]
,. ,. 1 — cosx 1
14. -^-= -f
,,. ,. sin во: '
15. hm —-— = а. Справедливо ли это, если а= О?
,„ ,. arcsinx ,
16. hm-= 1.
X
,, ,. tgax arctgax
17. lim -6-= et, hm-=— = а.
X X
,„ cosecx—ctgx 1
18. hm--—= .
X 2
, „ . 1 4- cos их 1 19- l™^^- = ^-
1J Доказательство применяемых неравенств основано на некоторых свойствах „площади" сектора круга, которые обычно принимаются за геометрически очевидные, как, например, что площадь сектора больше площади треугольника, вписанного в него. Обоснование этих предположений мы должны отложить до гл, VII,
11. lim VJ+f-yJSr-l.
у 1— Xа—Y 1-х
12. Нарисовать график функции
1,1.1.1
182 Глава пятая
20. Как ведут себя функции sin J-, —sin—, xsin — при х—>-0?
jc jc jc jc
[Первая функция колеблется ограниченно, вторая — неограниченно, третья стремится к пределу 0. Ни одна из них не определена при х = 0. (См. при меры XV. 6, 7, 8).]
21. Стремится ли функция
1
sm —
X
У = —г sin —
X
к пределу при х—>. 0? [Нет. Функция равна 1, кроме тех случаев, когда
sin — = 0, т. е. когда X = — , -^— ,. . ., — •— ,--fr—,. . . Для этих значе-
X ¦x 1т. т. Lr.
ний формула для у принимает вид -g- и теряет смысл, так что у не опрз-
делено для бесконечного числа значений х, лежащих вблизи х = 0.]
22. Доказать, что если т — любое целое число, то [х]—>-т их — [х]—*-0 при X —>- т + 0, и что [х] —*¦ т — 1, х — [х] —>-1 при х —>- т — 0.
98. Символы О, о, ~: порядок малости и порядок роста.
Определения п. 89 могут быть распространены, с очевидными изме-нениими, на функции от непрерывного переменного, стремящегося к бесконечности или к какому-нибудь конечному пределу. Так,/=0 (<р) при х—>- со означает, что |/|<^АГф для х [SsJC0;/= о (ср) означает, что
¦^-—>-0 и/~/ер, где 1ф0, что^-—>-/. Аналогично /=0(ср), когда
je—>- а, означает, что |/|<^АГф для всех х, отличных от а, но достаточно близких к а. Так,
X -f Xі = О (jc*), X = O(X"'), jc-[-jc4~jc4, sin X = 0(1), X =о(1)
при X —*¦ со и
X -j- Xі = О (х), Xі = о (х), X -\- Xі ~ X, 1 1Zs
sin -- = О (1), X = о(1),
когда X —> 0.
Допустим, для определенности, что х->-0. Функции
X у X у X у • • •
образуют шкалу, в которой каждый член стремится к нулю быстрее предыдущего, так как
хт = о(хп-1), хп+1 = о(хт)
для каждого положительного целого числа т. Естественно поэтому применять их в качестве меры „порядка малости" любой функции, стремищейся к нулю вместе с х. Если
cd (jc) ~ 1хт,
Пределы функций от непрерывного переменного 183
где 1фО, при л:->-0, то мы говорим, что ер (л:) порядка малости т, когда X мало 1J.
7/.
Эта шкала, конечно, ни в коей степени неполна. Так, ер (х) = х стремится к нулю быстрее чем х, но медленнее чем Xі. Мы могли бы попытаться сделать эту шкалу более полной, включив в нее
дробные порядки малости; мы могли бы, например, сказать, что х 7
порядка малости . В главе IX мы, однако, увидим, что даже тогда наша шкала будет весьма неполна.
Аналогично определим порядок роста. Так, мы говорим, что ер (х) имеет порядок роста т, если = хтер (х) стремится к пределу /,
отличному от нуля, при X—*-0.
Эти Определения относятся к случаю, в котором X ->- 0. Имеются, естественно, соответствующие определения, когда X —*¦ со или X а. Так, если хт<р(х) стремится к пределу, отличному от нуля, при х—VCO, то мы говорим, что ер (х) порядка малости т для больших х; а если (х — а)тер(х) стремится к пределу, отличному от нуля, когда х-»- а, то мы говорим, что ер (х) имеет порядок роста т для х, близких к а.
Многие из результатов последнего списка примеров могут быть сформулированы на языке этого пункта. Так,
sin 0.x ~ our, 1 — cos X ~ -g- * , cosec X—ctg X ^> ~2Х'<
при этом вторая функция второго порядка малости, а остальные — первого.
99. Непрерывные функции действительного переменного.
Читатель, несомненно, имеет представление о том, что понимают под непрерывной кривой. Так, он назовет кривую С на фиг. 26 непрерывной, а кривую С—-вообще непрерывной, но разрывной
при x=I' и X=I".
Каждая из этих кривых может рассматриваться как график некоторой функции ер (х). Естественно называть функцию непрерывной, если ее график является непрерывной кривой, а в противном случае — разрывной. Примем это в качестве временного предварительного определения и попытаемся разобрать точнее некоторые свойства, которые заключены в этом понятии.
