Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
то (1) существует единственная функция у = ц>(х), которая при подстановке в уравнение f(x, у) = 0 удовлетворяет ему тождественно для всех значений X в окрестности а,
(2) ср (х) непрерывна для всех значений х в окрестности а.
На фиг. 32 квадрат представляет „окрестность" (а, Ь), в которой удовлетворены условия 1° и 3°, a P является точкой (а, Ь). Если мы возьмем точки Q и R, как указано иа фигуре, то из 3° с ле дует, что/(лг, у) положите льна в <? и отрицательна в R. Раз это так и поскольку /(лг, у) непрерывна в С? и в R, то мы можем провести прямые QQ' и RR' параллельно ОХ, так что R1Q' параллельно OY и /(лг, у) положительна во всех точках QQ' и отрицательна
Пределы функций от непрерывного переменного
201
во всех точках RR'. В частности, f(x, у) положительна в Q' и отрицательна в R' и поэтому, в силу 3° и п. 101, обращается в нуль один и только один раз в некоторой точке P' на R1Q'. Аналогичное построение даст нам единственную точку, в которой f(x,y) = 0 на каждой ординате между RQ и R1Q'. Очевидно также, что подобное построение может быть выполнено слева от RQ. Совокупность таких точек, как P', дает нам график искомой функции у = у(х).
Остается доказать, что ср (х) непрерывна. Это проще всего'' сделать» используя понятия верхнего и нижнего пределов ц>(х) при х-*а (см. п. 96). Допустим, что х—+ а, и пусть X и Л будут, соответственно, нижний и верхний пределы ср (лг) при х-~а. Очевидно, что точки (о, X) и (о, А) лежат на QR. Более того, мы можем найти такую последовательность значений х, что ср(х) — X при лт—-а, пробегая значения этой последовательности; а так как f{x, ср(л;)} = 0и f(x, у)— непрерывная функция от х и у, то мы имеем:
f(a, X) = O.
Следовательно, X = Ь. Аналогично Л = Ъ. Таким образом, v)(x) стремится к пределу Ь при х—*а и ср(лг) непрерывна при х = а. Очевидно, что точно так же мы можем показать непрерывность ср(дг) при любом значении х в окрестности а.
В условии 3° теоремы можно, конечно, заменить слово „возрастающей" словом „убывающей".
В качестве примера рассмотрим уравнение (1), положив o = 0, #=0. Условия 1° и 2°, очевидно, выполнены. Кроме того,
lf(x, у)-f(x, у') = (у—уу(у*+угу,+уу+ууп+у'*-х — і)
имеет, если х, у и у' достаточно малы, знак обратный знаку у—у'. Следовательно, условие 3° (с „убывающей" вместо „возрастающей") также выполнено. Отсюда следует, что существует одна и только одна непрерывная функция у, которая тождественно удовлетворяет уравнению (1) и обращается в 0 при д: = 0.
Тот же результат имеет место для уравнения
у2 — ху —у — х = 0.
В этом случае функцией у является
У = у (1 + X - уТ+~6х~+х*),
где имеется в виду положительное значение корня. Второе значение корня с обратным знаком не удовлетворяет условию равенства 0 при х~0.
В доказательстве имеется один пункт, на который следует обратить внимание. Мы предполагали, что условия теоремы удовлетворены „в окрестности (а, Ь)и, т. е. в некотором квадрате а — є sgi х а-\-в, Ь — е zgZy rg: Ь + е. Утверждение имеет место „в окрестности X = а", т. е. в некотором интервале а—Ej ^ X ^ а -\- E1. В доказательстве ничто не показывает, что E1 Утверждения совпадает с с предпосылок, и это, вообще говоря, и не имеет места.'
202
Глава пятая
ПО. Обратные функции. Предположим, в частности, что/(лг, у) имеет внд F (у)— х. Тогда мы получаем следующую теорему:
Если F(у) в окрестности у = Ь— непрерывная строго возрастающая функция от у a F(V) = а, то существует единственная непрерывная функция у = у(х), которая равна Ь при х=а и тождественноуОовлетворяет уравнению F(у) = X в окрестности х = а.
Определенная таким образом функция ср (х) называется функцией обрат* ной F(y).
Пусть, например, у3 = х, а = 0, Ь = 0. Тогда все условия теоремы выполнены. Обратной функцией является х = У~у.
Если бы мы предположили, что у2 = х, то условия теоремы не были бы выполнены, так как у2 не является монотонно возрастающей функцией от у ни в каком интервале, содержащем у = 0: эта функция убывает при отрицательных у и возрастает при положительных у. В этом случае утверждение теоремы не имеет места, так как у2 = * определяет две функции от х, а именно, у = У* ну = — Ух> каждая из которых обращается в нуль при X = 0 и определена только для положительных значений х. Таким образом, уравнение у2 = X может иметь иногда два решения, а иногда — ни одного. Читателю предлагается таким же образом рассмотреть более общие уравнения
_у2п — х, у1п+\=х.
Другим интересным примером является уравнение
у5 —у — X = 0,
уже рассмотренное в примере XIV. 7. Уравнение
siny = X
имеет в точности одно решение, которое обращается в нуль при дг = 0, а именно, значение arc sin х, обращающееся в нуль при х = 0. Существует, само собой разумеется, бесконечно много других решений, соответствующих другим значениям arc sinх (см. пример XV. 10), но они не удовлетворяют этому условию.
До сих пор мы рассматривали поведение функции только в окрестности определенного значения х. Допустим теперь, что F (у) положительна н монотонно возрастает (или убывает) в интервале (а, Ь). Если дана любая точка ? из (а, V), то мы можем определить нгкоторый интервал і, содержащий и единственную непрерывную обратную функцию cpi (jc), определенную в нем
