Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
97. Читатель, вероятно, не будет видеть необходимости доказательств таких результатов, как утверждения в примерах 4, 5, 6, 7, 8, приведенных выше. Он может спросить: „почему просто не положить х = 0 или X= а? Ясно, что мы тогда получим а, ~,ат, Р(а),
R (а)и. Очень важно, чтобы он усмотрел заключающуюся здесь ошибку. Поэтому прежде чем перейти к дальнейшим примерам, мы подробно остановимся на этом вопросе. Утверждение
Ига ц>(х) = 1
х-*0
относится к значениям ср (х), когда х имеет любое значение, не равное нулю, но мало отличающееся от нуля Оно не является утверждением о значении ф(х) при х = 0, но имеется в виду, что когда X почти равно нулю, ср (х) почти равно /. Мы ничего не утверждаем относительно того, что произойдет, когда х в точности равно нулю. Мы даже не знаем, определена ли вообще ср (х) при х=0; если же ср(х) и определена при х = 0, то ее значение, вообще говоря, может быть отличным от /. Рассмотрим, например, функцию, определенную для всех значений х уравнением ср(д;) = 0. Тогда, очевидно,
HmCpO) = O. (1)
1J Так, утверждение, содержащееся в определении А п. 93, относится к таким значениям у, для которых 0 <.у ^SLy0, причем первое неравенство приводится специально для того, чтобы исключить значение у = 0.
Пределы функций от непрерывного переменного 179
12*
Теперь рассмотрим функцию ^(х), которая отличается от cp(jf) только тем, что (Ji(Je)=I, когда Jf = O. Тогда
Hm (Ji (х) = 0, (2)
ибо когда X почти равно нулю, (Jf) не только почти, но даже в точности равна нулю. Но (Ji(O)=I. График этой функции состоит из оси X с выключенной точкой х = 0 и одной изолированной точки, а именно, (0,1). Соотношение (2) выражает тот факт, что если мы движемся вдоль графика по направлению к оси у с любой стороны, то ордината кривой, будучи всегда равной нулю, стремится к пределу нуль. Положение изолированной точки (0,1) не оказывает на этот факт никакого влияния.
Читатель может возразить, что этот пример слишком искусственней; однако легко написать простые формулы, представляющие функции, которые ведут себя точно таким образом вблизи Jf = O. Одной из таких функций является
(Ji (X)=[I —х2],
где [1 — Xі] обозначает, как обычно, наибольшее целое число, не превосходящее 1—Xі. В самом деле, если Jf=O, то ty(x)= [1] = 1, тогда как если 0 <^ лг <^ 1 или — 1 <^х <^ 0, то (Ji (х) = [ 1 —xі] =0. Или же рассмотрим функцию
у X '
уже исследованную в гл. II, п. 24 (2). Эта функция равна 1 для всех значений, кроме Jf = O. Она не равна 1, когда Jf = O; она вообще не определена при Jf = O. Ибо когда мы говорим, что <p(jf) определена при Jf = O, то имеем в виду, что (как было разъяснено в указанном месте гл. II) мы можем вычислить ее значение при X= 0 подстановкой Jf=O в формулу, определяющую cp(jf). В данном случае мы этого сделать не можем. Когда мы подставим Jc = O Bcp(jf),
то получим ~, что не имеет смысла. Читатель может предложить „разделить числитель и знаменатель на х", но и это невозможно при д; = 0. Таким образом, _у=— является функцией, которая отличается от _у=1 только тем, что она не определена при Jr = O-TeM не менее,
Hm — = 1,
X
X
так как — равно 1, если х отлично от нуля, как бы мало х Ни
отличалось от нуля. Аналогично,
І80
Глава пятая
пока X не равно нулю, но ср(лг) не определена при лг = 0. Тем не менее, limcp (л;) = 2.
С другой стороны, ничто, конечно, не мешает тому, чтобы в других случаях предел ср(лг) при х, стремящемся к нулю, равнялся со (0), значению ср(лг) при лг = 0. Так, если ср(лг) = лг, то ср (0) = 0 и limcp (х) = 0.
Примеры XXXVL 1. \\тХ%~~а% =2а.
X -*а х О.
хт___dm
2. Hm -,— = тат~1, если т — любое целое число (включая нуль).
X -*а X — и
3. Доказать, что результат примера 2 остается справедливым для всех рациональных значений т, если только а положительно. [Это следует сразу из неравенств (9) и (10) п. 74.]
х7_2х^ 4-1
4. Hm -j— . ,T0=I» [Числитель и знаменатель делятся иа х — 1.]
X ~* 1 х" —- OX 4" *
5. Исследовать поведение
^"4-U1x« + 1 + . . .4-6^"+' ' іде U0J^O1 bo^0 при х,стремящемся к нулю справа или слева.
[Если /я>я, то limtp{x) = 0. Если /я = я, то limcp (х) = ~ . Если от < п и я—/л четио, то ср (х) —*¦ 4- со или ср (*)—»- — со, в зависимости от того, будет ли -^->0 или -77"<°- Если т<п и п—т нечетно, то ср(*)_>4-00 При дг-^-4-0 и ср (дг) -> — со при л: —— 0 или ср (х) —— со при д: —4" 0 и <р(х) —V4.со при л:—>¦ —0, в зависимости от того, будет ли -r->Q илн
6. Если a a b положительны, то
„ш *Ш = А, Hm AT-I = O.
>+с
Как ведут себя эти функции, когда х—»-0 слева?
71J. Hm Y^ 4"•^ =lim У1 —X = 1. [Положить 1 -\-х=у или 1 — х=у и применить результат примера XXXV. 8.]
л:
[Умножить числитель и знаменатель на "^14--^4"}^""^-*-]
9. Рассмотреть поведение
Y Т+х™ — Yl — хт х"
при л" —>¦ 0, где т и я — положительные целые числа.
10. UmL{Yl+x + x* — 1} = у.
1J В следующих примерах предполагается, что ищутся пределы при х—*-0, если (как в примерах 19, 22) ничего другого явно не оговорено.
