Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
X -»а
дениям:
Hm ср (х) = /, Hm со (х) = /.
х->а-\-й х-*а — О
Мы можем также дать аналогичные определения, относящиеся к случаям, в которых со (х) —>- со или ср(х)—>-—оо при X стремящемся к а и принимающем значения, большие, соответственно, меньшие, а; но теперь уже нет необходимости подробнее останавливаться на этих определениях, так как они вполне аналогичны определениям, сформулированным выше для частного случая а = О и мы всегда можем исследовать поведение ср(х) при х—>-а, полагая X — а= у и считая, что у—*-0.
95. Монотонно возрастающие или убывающие функции. Если существует такое число є, что со (х') ср (je"), если а — е<^х'<С <^x"<^a-J-e, то говорят, что со (х) монотонно возрастает в окрестности X= a. j
Предположим сначала, что х<^а, и положим у = ^ • Тогда
у-*-оо при X-Vа — 0, и со(х) = ^ (у) является монотонно возрастающей функцией от у, никогда не превосходящей со (а). Из п. 92 следует, что со (дт) стремится к пределу, не превосходящему ср (а). Мы будем писать:
lim Cp(X) = Cp(U-I-O)1).
х-чг + 0
') Читатель, конечно, поймет, что ср(а-)-О) не означает ничего другого, кроме предела в левой части, сокращенным обозначением которого оно является. Можно применять символы tp(a-)-O) и <р (а — 0) всякий раз, когда пределы, определяющие их, существуют; но, вообще говоря, они не буду» удовлетворять неравенствам, приведенным дальше в тексте.
Пределы функций От непрерывного переменного
177
Аналогично определим ср(а — 0). Ясно, что
«р (а -— 0) ^ со (а) 5S ер (а -f 0)
и что аналогичные соображения применимы к убывающим функциям.
Если со (х')<^ со (х") при а — є <[ д:' <^ х" <^ a -J- є, причем равенство исключается, то со (х) называется строго возрастающей в окрест' тети. X = а.
96. Верхний и нижний пределы и принцип сходимости. Все
рассмотрения пп. 80—84 могут быть перенесены на функции от непрерывного переменного х, стремящегося к пределу а. В частности, если ср(лг) ограничена в некотором интервале, содержащем а (т. е. если мы можем найти е, H и AT так, что Н<^ со (х) <^ AT при а — ?=? 1J), то мы можем определить X и Л, верхний и нижний пределы ер(лг) при х-*-а и доказать, что X = A = / является необходимым и достаточным условием для того, чтобы со (лг) стремилась к /. Мы можем также установить аналогичный принцип сходимости, т. е. доказать, что необходимым и достаточным условием для того чтобы ср(х) стремилась к пределу, является существо' вате для любого 8 такого числа є (8), что |ер(л:а) — со (x1)K[S, если 0 <^ Ijc2 — а КI *і — a|<Cs Подобным же образом, необходимым и достаточным условием для того чтобы <р (лг) стреми' лась к пределу при х-*оо, является выполнение неравенства I <Р(*») — 9(Xi) |<8> если х^X1^X(Ь).
Примеры XXXV. 1. Если у (Х)-*-1, ф (x)-W при х-*-а, то
«РM+ 4»(*)-»•/ + *'. ?(*) + (*)-»-/Г, j^-^y'
если в последнем случае
[В п. 92 мы видели, что теоремы гл. IV, п. 63 и сл. имеют место и для
функций от х, когда х—»-со или х—*¦— оо. Полагая х = —, мы можем распространить их иа функции от у при у 0, а полагая у = z — а, — и на функции от z при z —»- а.
Читателю предлагается доказать их также непосредственно из формальных определений. Так, для того чтобы получить прямое доказательство первого результата, нужно только взять доказательство теоремы I из п. 63 и заменить в ием я иа х, оо на а и я^я0 на 0<|х—д|=?Се.]
2. Если т — положительное целое число, то xm—»-0 при х—»-0.
3. Если т — отрицательное целое число, то хт—*- + оо при х—v + O и хт—>-— оо или хт—»- + оо при х—»- — 0, в зависимости от того, будет ли т нечетным или четным. Если т = 0, то хт=1 и, значит, хт—>-1.
4. lim (а + *х + сх2 + - • -+kxm) = a.
х-*0
Ч См. п. ЮЗ. 12 Г. Харда
178
Глава пятая
a-j-bx + . . . -\-kxm а
xZo « + + • • -+**m кроме того случая, когда а = 0. Если а = 0 и а? =?^0, то рассматривав, мая функция стремится при х—v-f-O к -(-со или к —оо, в зависимости от того, будут ли знаки аир одинаковыми или противоположными; утверждения меняются местами, если х—*¦ — 0. Случай, когда и а и а равны нулю, рассмотрен в примере XXXVI. 5. Исследовать случай, когда a jtO и несколько первых коэффициентов в знаменателе равны нулю.
6. lim хт = ат, если т—любое положительное или отрицательное целое
х~*а
число, кроме того случая, когда а = 0 и т отрицательно. [Если /и>0, положить х=у-{-а и применить пример 4. Когда /я< 0, результат следует из примера 1. Мы сразу получаем отсюда, что HmP(X)=P(а), если Р(х) — многочлен.]
7. Hm R (х) = Р. (а), если R обозначает любую рациональную функцию
х-*а
и й не является корнем знаменателя.
8. Показать, что Нтхт=ат для всех рациональных значений т, кроме
х-*а
того случая, хогда в=0 ил отрицательно. [Для положительных а это сразу следует из неравенств (9) или (10) п. 74. Ибо | хт — ат\<Н\х — а \, где H обозначает большее из абсолютных значений тхт~1 и та"1*1 (см. пример XXVIII. 4). Если а отрицательно, положим х = —у и а= — Ь. Тогда
lim хт = lim (— \)т ут = (— I)"1 Ьт=ат.
