Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
106. Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля.
Мы переходим теперь к доказательству некоторых теорем, относящихся к колебанию функции, которые, как мы увидим, играют чрезвычайно важную роль в теории интегрирования. Эти теоремы опираются на одну общую теорему, относящуюся к интервалам на прямой.
Предположим, что дана система интервалов на прямой линии, т. е. что дана некоторая совокупность, каждым членом которой является некоторый интервал (а, ?). Мы не накладываем на эти интервалы никаких ограничений; число их может быть конечным или бесконечным; они могут перекрываться, могут и не перекрываться 1j; любое число этих интервалов может целиком принадлежать некоторым из них.
!) Термин „перекрывающиеся интервалы" применяется здесь в очевидном смысле: два интервала перекрываются, если они имеют общие точки,
отличные от концов каждого из них. Так, интервалы 10, -=- j и (-g-, 1
перекрываются. Про пару интервалов (0, -=-) и 1-^-, 1) можно сказать, что
М(а, р — ц)<М, М(а, p-f Tj) = AJ для всех положительных значений vj, и, таким образом,
Мф — ч, ? + vj) = Af,
они примыкают друг к другу.
Пределы функций от непрерывного переменного 195
где t положительно и меньше 1. Мы рассматриваем 0 как -у, а 1 — как
-j-, ив этих двух случаях отбрасываем те части интервала, которые выходят из интервала (0, 1). Тогда мы получим бесконечную систему интервалов, которые, очевидно, перекрываются друг с другом, так как в каждом
интервале, соответствующем —, содержится бесконечно много рациональ-р
ных точек, отличных от — .
ч
ТЕОРЕМА ГЕЙНЕ — БОРЕЛЯ. Допустим, что дан интервал (а,Ь) и система интервалов i, каждый член которой содержится в (а,Ь). Предположим, далее, что i обладает следующими свойствами:
(1) каждая точка интервала (а, Ь), отличная от aub, лежит внутри !) по крайней мере одного из интервалов системы i;
(2) а является левым концом, а Ь — правым концом по крайней мере одного интервала из i.
Тогда из системы i можно выбрать конечное число интервалов, которые образуют систему, также обладающую свойствами (1) и (2).
Мы знаем, что а является левым концом по крайней мере одного из интервалов /, скажем интервала (a, U1). Мы знаем также, что at лежит внутри по крайней мере одного из интервалов /, скажем, (а[, а2). Подобным образом а2 лежит внутри некоторого интервала (аг, а3) из /. Ясно, что это рассуждение можно бесконечно повторять, если только после конечного числа шагов ап не совпадает с Ь.
Если ап совпадает с Ъ после конечного числа шагов, то больше нечего доказывать, так как мы получаем конечную систему интер-
!) Это значит „внутри, но ни в одном из концов".
18»
Здесь уместно мимоходом привести несколько примеров таких систем интервалов; к рассмотрению этих систем мы еще вернемся позже.
(1) Если интервал (0, 1) разбит на п равных частей, то полученные Я интервалов составляют конечную систему неперекрывающихся интервалов, которые покрывают отрезок (0, 1).
(2) Возьмем каждую точку % интервала (0, 1) и поставим ей в соответствие интервал (?—е, ij-f-є), где е—положительное число, меньшее 1; точке О поставим в соответствие интервал (0, е), а точке 1—интервал (1—є, 1), и вообще отбросим часть каждого интервала, выходящую из интервала (0, 1). Таким образом, мы определяем бесконечную систему интервалов, причем очевидно, что многие из них перекрываются друг с другом.
(3) Возьмем рациональные точки интервала (0, 1) и поставим в
р
соответствие точке — интервал
196
Глава пятая
валов, выбранных из / и обладающих требуемыми свойствами. Если ап никогда не совпадает с Ь, то точки alt а.3, а3, ... должны стремиться к некоторому предельному положению, так как каждая из них лежит правее предыдущей; но эта предельная точка может лежать где угодно в (а, Ь).
Допустим теперь, что указанное построение проведено, исходя из а, всевозможными способами, так что мы получим всевозможные последовательности типа O11 а2, а3.....Тогда мы докажем, что существует
по крайней мере одна такая последовательность, которая достигает Ъ после конечного числа шагов.
Имеются две возможности для положения точки S в (а, Ь). Либо 1° ? лежит слева от некоторой точки ап некоторой последовательности, либо 2° это не имеет места. Разобьем точки ? на два
a W1 а, а'г а2 ? а3 Z' ( & Г b, b
Фиг. 30
класса L и R, в зависимости от того, справедливо 1° или 2°. Класс L заведомо существует, так как все точки интервала (a, U1) принадлежат к L. Мы докажем теперь, что класс R не существует, так что каждая точка ? принадлежит к классу L.
Если бы класс R существовал, то L находился бы целиком слева от R, и классы L, R определяли бы сечение в области действительных чисел между а и о, которому соответствовало бы некоторое число ?0. Точка ?0 лежала бы внутри какого то интервала из /, скажем, (?', ?"), и ?' принадлежало бы к L и, таким образом, лежало бы левее некоторого члена ап некоторой последовательности. Но тогда мы могли бы взять интервал (?', ?") в качестве интервала (яЛ) an+i)> соответствующего ап в нашем построении последовательности а1г аь, а3, ..., и все точки слева от ?" лежали бы слева от ап+1. Следовательно, существовали бы точки из L, лежащие справа от ?0, а это противоречит определению R. Поэтому невозможно, чтобы класс R существовал.
