Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 78

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 191 >> Следующая


Кривые, встречающиеся в элементарной математике, обычно состоят из конечного числа кусков, вдоль каждого из которых у изменяется в одном и том же направлении. Легко показать, что если у = у(х) изменяется

в одном и том же направлении, т. е. либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает, когда х пробегает значения от X0 до X1, то оба понятия непрерывности действительно совпадают, т. е. функция, принимающая каждое значение между tp (д;0) и tp (X1), должна быть непрерывной в смысле п. 99. Действительно, пусть 5 — любое значение х между X0 и хх. Когда X стремится к і, пробегая значения, меньшие %, tp (х) стремится к пределу tp (? — 0) (см. п. 95). Аналогично, когда х стремится к ?, пробегая значения, большие ?, tp (л;) стремится к пределу ср (5 —I— 0). Функция будет непрерывной при х = \ в том и только том случае, когда

Но если какое-либо из этих равенств не имеет места, скажем первое, то tp (х) никогда не может принять ни одного значения, лежащего между tp (?—0) и tp (?), что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно, tp (х) должна быть непрерывной.

102. Дальнейшие свойства непрерывных функций. В этом и в следующих пунктах мы докажем ряд важных общих теорем.

ТЕОРЕМА !.Допустим, что у(х) непрерывна при X = S и что ер (S) положительно. Тогда можно найти такое положительное число s, что ер (дг) положительна в интервале (S — s, S-j-?)"

Фиг. 28

О В

Фиг. 29

<p?_0) = tp(S) = tp(S + 0).

Пределы функций от непрерывного переменного

19t

Действительно, полагая 8 = -^- ср (?) в основном неравенстве на стр. 185, мы можем выбрать є так, что

I <р (*)-?(*) 1<|<р (9

в интервале (? — е, і-{-&), и тогда

так что <?(х) положительна. Очевидно, что имеет место аналогичная теорема, относящаяся к отрицательным значениям ср(лг).

ТЕОРЕМА 2. Если, «р (х) непрерывна при х = 1и<?(х) обращается в нуль для значений х, расположенных как угодно близко к \, или принимает как угодно близко к \ как положительные, так и отрицательные значения, то ср (?) = 0.

Эта теорема следует сразу из теоремы 1. Если бы ср(ї-) было отлично от нуля, то оно должно было бы быть положительным или отрицательным; если бы, например, оно было положительным, то ср (х) должна была бы быть положительной для всех значений х, достаточно близких к і, что противоречит предпосылкам теоремы.

103. Область значений непрерывной функции. Рассмотрим функцию ср (х), относительно которой мы пока только предположим, что она определена для каждого значения х из некоторого интервала (а, Ь).

Значения, принимаемые ср (х) для значений х из (а, Ь), образуют некоторую совокупность 5, к которой мы можем применить рассуждения п. 80 (как мы применили их уже в п. 81 к совокупности значений функции от п). Если существует такое число К, что ср (х) К для всех рассматриваемых значений х, то мы говорим, что ср (х) ограничена сверху. В этом случае ср (х) имеет точную верхнюю грань М, обладающую тем свойством, что нн одно значение со {х) не превосходит М, но для каждого числа, меньшего М, существует по крайней мере одно значение ср (х), которое его превосходит. Аналогично определяются, в применении к функциям от непрерывного переменного х, термины „ограничена снизу", „точная нижняя грань", „ограничена".

ТЕОРЕМА 1. Если ср (х) непрерывна (а, Ь)*), то она ограничена в (а, Ь).

Мы можем найти такой интервал (а, і) справа от а, в котором ср (х) ограничена, ибо из непрерывности ср (х) при х = а следует, что для любого заданного положительного числа 8 мы можем найти

*) Здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, непрерывность в замкнутом интервале а^х^Ь. (Прим. перев.)

192 Глава пятая

1) Если ? = A, то мы должны в следующем рассуждении заменить этот интервал интервалом (?-^-vi, ?), а число ?-J-vj — числом ?.

такой интервал (а, ?), в котором значения ср (х) заключены между ер (а) — 8 и ер (а)-1-8, так что ср (х) ограничена в этом интервале.

Разобьем теперь точки ? интервала (а, Ь) на два класса LwR, относя I к L, если ер (х) ограничена в (а, ?), и к R, если это не имеет места. Из предыдущего следует, что класс L безусловно существует; мы должны доказать, что R не существует. Допустим, что R существует, и обозначим через ? число, соответствующее сечению /_, R. Так как ер (х) непрерывна при х = ?, мы можем, как бы мало ни было заданное положительное число 8, найти такой интервал (?—Y)1 ? —J— tq) *h в котором

9(?)-8<9(*)<9(?) + 8.

Следовательно, с? (х) ограничена в (?'—yj, ?-f-iq). Но ? —— tq принадлежит к L, и, следовательно, ср(х) ограничена в (а, ?—tq); поэтому она ограничена и во всем интервале (a, ?~|-Y)). Но ?-f-tj принадлежит к R, и ф (х) не может быть ограничена в (а, ? -j- tq). Это противоречие показывает, что не существует и что, следовательно, ср (х) ограничена в (а, о).

ТЕОРЕМА 2. Если ер (х) непрерывна в (а, Ь) и M и т обозначают ее точные верхнюю и нижнюю грани, то со (х) принимает в этом интервале каждое из значений M и т по крайней мере один раз.

Действительно, если дано любое положительное число 8, то мы можем найти такое значение х, для которого M — ер(л;)<^8 или
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed