Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Ч Мы можем, вообще, сказать, что в (х) порядка малости т, если существуют такие положительные постоянные А, В, что
A I X \т s? (tp (х) I s? В \ X \m.
Ho определение, данное в тексте, является достаточно общим для наших целей.
184
Глава пятая
Прежде всего, очевидно, что свойство непрерывности функции _у = ср(;е), графиком которой является кривая С, состоит из некоторого свойства самой кривой в каждой из ее точек. Для того чтобы определить непрерывность для всех значений х, мы должны сперва определить непрерывность для любого частного значения х. Сосредоточим поэтому наше внимание на некотором частном значении х, скажем, х = 1, соответствующем точке P графика. Каковы характеристические свойства ср(л), связанные с этим значением л:?
V !
С
Фиг. 26
Во-первых, ер (х) определена при х = \. Очевидно, что это существенно. Если бы ср (?) не было определено, то на кривой нехватало бы точки.
Во-вторых, ер (х) определена для всех значений х, близких к х = %, т. е. мы можем найти интервал, содержащий внутри себя точку х = 1, для всех точек которого ср (х) определена.
В-третьих, если X приближается к значению I с каждой стороны, то со (х) приближается к пределу ер (S).
Перечисленные свойства далеко не исчерпывают всех свойств той фигуры, которую представляет собой кривая с точки зрения здравого смысла и которая является обобщением некоторых специальных кривых (например, прямых и окружностей). Но эти свойства являются простейшими и самыми основными; график любой функции, которая ими обладает (если только его можно нарисовать), будет вполне отвечать нашим интуитивным представлениям о том, что должно считаться непрерывной кривой. Поэтому мы выбираем их в качестве свойств, определяющих математическое понятие непрерывности. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ср (х) называется непрерывной при х = 1, если она стремится к пределу при х, стремящемся к \ справа и слева, и если каждый из этих пределов равен со (?).
Таким образом, ср (х) непрерывна при х = \, если ср (?), ер($ — 0) и 9(1-4--0) существуют и равны между собой.
Мы можем теперь определить непрерывность в интервале. Функция 9(х) называется непрерывной в некотором интервале значений х,
Пределы функций от непрерывного переменного 185
если она непрерывна при всех значениях х из этого интервала. Она называется непрерывной всюду, если она непрерывна при каждом значении х. Так, [х] непрерывна в интервале (s, 1—є), где є —
любое положительное число, меньшее 2 , но она не непрерывна при
д; = 0 и при X = 1; она также не является непрерывной нив каком интервале, содержащем хотя бы одну из этих точек. Функции 1 и х непрерывны всюду.
Если мы обратимся к определению предела, то увидим, что наше определение эквивалентно следующему: яср(;е) непрерывна при х = ?, если для каждого данного 8 мы можем найти такое є (8), что |ер(л:) — ср(|)|<8 для Os?|;e — ? j ==? є(8)в.
Нам часто приходится рассматривать функции, определенные только в некотором интервале (a, b). В этом случае удобно сделать небольшое и естественное изменение в нашем определении непрерывности в точках а и Ъ. Мы будем говорить, что ер (х) непрерывна при X = а, если cp(a-f-O) существует и равно со (а), и при X = Ь, если cf(b — 0) существует и равно ср(я).
100. Определение непрерывности, данное в предыдущем пункте, геометрически может быть проиллюстрировано следующим образом. Проведем две горизонтальные прямые jv = ср (S) — 8 и у = — 9 (О 4~ & Тогда неравенство j со (х) — со (?) I *С ^ означает, что точка
? fT^i "х
Фиг. 27
кривой, соответствующая х, лежит между этими прямыми. Аналогично, Iх-—SI S=S є означает, что х лежит в интервале (S— є, |-|-є). Следовательно, наше определение утверждает, что если мы проведем Две как угодно близкие друг к другу горизонтальные прямые, то всегда можно найти такую вертикальную полосу, что та часть кривой, которая содержится в этой полосе, проходит между проведенными горизонтальными прямыми (фиг. 27). Очевидно, что это справедливо для кривой С (см. фиг. 26), каково бы ни было значение с.
Теперь мы перейдем к исследованию непрерывности некоторых специальных типов функций. Некоторые из следующих ниже результатов применялись уже в гл, П,
186
Глава пятая
Примеры XXXVII. 1. Сумма и произведение двух функций, непрерывных в некоторой точке, также непрерывны в этой точке. Их отношение также непрерывно, если значение знаменателя в этой точке отлично от нуля. [Это следует из примера XXXV. 1.]
2. Любой многочлен непрерывен для всех значений х. Любая дробно-рациональная функция непрерывна для всех значений х, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в нуль. [Это следует нз примеров XXXV. 6 и 7.]
3. У X непрерывен для всех положительных значений X (пример XXXV. 8). Он не определен для х, меньших нуля, но непрерывен при х = 0, в силу замечания, сделанного в конце п. 99. То же имеет место для хт/п, где т и п — любые положительные целые числа, причем п четно.
