Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
до_^ до ^> — . Следовательно, функция ^—~оГ(х) не 0ГРаничена> а
поэтому, в силу теоремы 1, и не непрерывна. Но M—ep(jc)—непрерывная функция, и следовательно, ^ до непрерывна в любой
точке, в которой знаменатель не обращается в нуль (пример XXXVII. 1). Таким образом, должна существовать такая точка, в которой знаменатель обращается в нуль, и в этой точке <р(х) = М. Аналогично можно показать, что существует и точка, в которой ср (х) == т.
Ввиду большой важности этой теоремы полезно дать, помимо приведенного непрямого доказательства, и другие методы ее доказательства. Однако удобнее отложить это до п. 105.
Примеры XXXVIII. 1. Если ср(лг) = і при хфО и ср(х) = 0 при х = 0,
то ср (лг) не имеет ни верхней, ии нижней грани ни в одном интервале, заключающем внутри себя точку лг = 0 (например, в интервале (—1, +1)}-
2. Если ср (х) = -р при X ф 0 и ср (х) = 0 при х = О, то ср (лг) имеет в интервале (—1, -J- 1) точную нижнюю грань 0, но не имеет верхней грани.
Пределы функций от непрерывного переменного
193
1
3. Пусть ср (л:) = sin — при х ^ О и tp (х) = О при Jf}= 0. Тогда tp (л:) разрывна при л; = О. В любом интервале (—о, -\-Ь) точная нижняя грань этой функции равна — 1, а точная верхняя грань ¦fl, и каждое из этих значений принимается ср (лт) бесконечное число раз.
4. Пусть ср (лг) = лг — [Jf]. Эта функция разрывна при всех целочисленных значениях х. В интервале (0, 1) ее точная нижняя грань равна 0, а ее точная верхняя грань равна 1. Таким образом, эта функция никогда не принимает значения, равного ее точной верхней грани.
5. Пусть ср(л;):=0, когда х иррационально, и y(x) = q при рациональном
х=~-. Тогда ср(л:) в любом интервале (а, Ь) имеет точную нижнюю грань 0,
но не имеет верхней грани. Если жеср(лг) = (—1)^q, при Jf=^-, то ср (jf) не имеет ни в одном интервале ни верхней, ни нижней грани.
104. Колебание функции в интервале. Пусть ер (jf) — любая функция, ограниченная в интервале (а, Ь), и пусть M и т—ее точные верхняя и нижняя грани. Мы будем писать M (а, Ъ) и т (а, Ъ) вместо M и т для того, чтобы явно указать зависимость Мит от а и Ь; кроме того, положим
Это число О (а, Ь), разность между точной верхней и точной нижней гранями ер (х) в (а, Ь), называется колебанием ер (х) в (а, Ь). Приведем некоторые простейшие свойства функций M (a, b), т (а, V) и О (а, Ь).
(1) Если а^с^Ь, то M (а, Ъ) есть большее из чисел M (а, с) и M (с, b), а т (а, Ъ) — меньшее из чисел т (а, с) и т (с, V).
(2) M (а, Ь) является возрастающей, т(а, Ъ)—убывающей и О (а, Ь) — возрастающей функцией от Ъ.
Первые две теоремы являются прямыми следствиями наших определений. Пусть р — большее из чисел M (а, с) и M (с, V) и 8 — любое положительное число. Тогда ер (х) -? [і в (а, с) и в (с, b), a следовательно, и в (а, Ь); кроме того, ер(д;)^>[і — 8 для некоторого значения X из (а, с) или из (с, b), а, следовательно, для некоторого значения X из (а, Ь). Таким образом, M (a, b) = р.. Утверждение относительно т доказывается так же. Таким образом, (1) доказано, а (2) является его непосредственным следствием.
Допустим теперь, что VW1-большее, a Al2— меньшее из чисел M (а, с) и M (с, Ь) и что т1 — меньшее, а /га2— большее из чисел т (а, с) и т (с, Ь). Тогда, так как с принадлежит к обоим интервалам, ер (с) не больше чем Ai2 и не меньше чем /га2. Следовательно, Ai2^ZW2, независимо от того, соответствуют ли эти числа одному и тому же из интервалов (а, с) и, (с, Ь) или нет. Далее,
О (a, b) = M(at b) — m(a, b).
(3)
О (а, 6)«?0(а, с)+О(с, Ь).
О (a, O)=M1— /W1SSAl1-I-Al2 — ту—т,
2>
13 Г. Харди
194
Глава пятая
но
О (а, с)-Л-О (с, b) = M1 -\- — — т.
откуда следует (3).
105. Другие доказательства теоремы 2 п. 103. Самым прямым доказательством теоремы 2 п. 103 является следующее. Пусть % — любое число из интервала (а, V). Функция M (а, ?) монотонно возрастает вместе с 6 и никогда не превосходит Af. Следовательно, мы можем построить сечение чисел %, относя і к L или к R, в зависимости от того, будет ли M (a, ?) < Al или M (a, S) = Af. Пусть ? — число, соответствующее этому сечению. Если «<Р<?, то мы имеем
согласно утверждению (1) п. 104. Следовательно,ср (л:) принимает для значений х как угодно близких к ? значения как угодно близкие к ЛГ, а так как ср (х)-непрерывна, то ср(р) должно быть равно Af.
Если ? = а, то M (а, а 4- Vj) = AT. Если же % = Ь, то M (а, Ь — -ц)<М и, следовательно, M (о — ц, b) = M. В каждом из этих случаев доказательство может быть закончено так же, как и в первом случае.
Теорема может быть доказана также методом повторных делений интервалов пополам (см. п. 71). Если Al является точной верхней гранью ср (л:) в интервале PQ и PQ разделен на две равных части, то можно найти половину PiOu в которой точная верхняя грань ср (л:) также равна М. Продолжая так же, как в п. 71, мы построим последовательность интервалов PQ, PiQn PiQi> ...,в каждом из которых точная верхняя грань ср(лг) равна М. Эти интервалы, как показано в п. 71, сходятся в некоторой точке Т, и легко доказать, что значение ср (л:) в этой точке должно равняться М.
