Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
4. Функция хт,п непрерывна для всех значений х, если п нечетно.
5. — разрывна при х = 0. Эта функция не определена при х = 0 и не
стремится ни к какому пределу при х—>-0. Действительно,---v-j-oo или
1
— — оо, в зависимости от того, стремится ли X к нулю справа или слева.
6. Исследовать на непрерывность в точке х=0 функцию х~т/п, где т и п — положительные целые числа.
7. Дробно-рациональная функция
разрывна при х=а, где а — любой корень уравнения Q(x) = Q. Так,
х2 + 1 Xs — Зх + 2
разрывна при х=1. Следует заметить, что в случае дробно-рациональных функций разрыв всегда связан с (а) непригодностью определения для данного значения X и (Ь) стремлением функции к -4- оо или к —оо при стремлении X к этому значению с каждой стороны. Такая точка разрыва обычно называется бесконечностью функции. „Бесконечность" является наиболее часто встречающимся видом разрыва.
8. Исследовать на непрерывность функции
___з--Л[ х~а if х-а
Y(x—a)(b — x),V(x-a)(b-x), у Ь — х> У JZTJ-
9. Функции sin X и COSX непрерывны для всех значений х. [Так, например,
sin (х + h) — sin X = 2 sin -і- ft • cos + 2 >
что по модулю не превосходит ft.]
10. При каких значениях х функции Xg х, c\gx, sec х и cosec х непрерывны и при каких разрывны?
11. Если /(у) непрерывна при у = ^, а у(х)— непрерывная функция от х, равная yj при х = %, то /{ v(x) } непрерывна при х = ?.
12. Если о (х) непрерывна при данном значении х, то любой полином от о(х), а { а (х) }т -)-... также непрерывен при этом значении х.
13. Исследовать на непрерывность функции
(acos2X + Ъsin2х)'1, У~2-j-cosх, "|/"l-j-sinx , (1 + sinx)~lh-
Пределы функций от непрерывного переменного 187
14. Функции sin — , л: sin— и x2sin— непрерывны при всех значениях х, кроме х = 0.
15. Функция, равная л: sin — для всех х, кроме х = 0, и равная нулю
при х = 0, непрерывна для всех значений х.
16. [х] и X — [х] разрывны при всех целочисленных значениях х.
17. При каких значениях х (если таковые вообще существуют) следующие функции разрывны:
[¦*•]. IV*Ь V*^M> M+ V^-3W. рх], і*] +1-х]?
18. Классификация разрывов. Некоторые из предыдущих примеров наводят на мысль о следующей классификации типов разрывов.
(1) Допустим, что «р(х) стремится к пределу при X —>- а как справа, так и слева. Обозначим эти пределы, как в п. 95, соответственно, через ср(а—0) и ср(а+0). Тогда для непрерывности необходимо и достаточно, чтобы ср(лг) была определена при х=а и чтобы
=р(а_0) = <р(а) = <р(а + 0).
Разрыв может иметь место при различных обстоятельствах.
(а) <р(а — 0) может быть равно ср(а + 0), но ср(а) может не быть определено или может отличаться от ср(а — 0) н ср(а + 0). Так, если <р (дг) =
= xs'm— и а = 0, то ср(0 — 0) = ср (0 + 0)= 0, но ср (х) не определена при
х=0. Или, если ср (х) = [1 — Xі] и а = 0, то ср (0 — 0) = ср (0 -f 0) = 0, но ? (0) = 1.
(3) ср(я—0) и ср(а + 0) могут быть неравны. В этом случае ср(а) может быть равно одному или другому из этих значений или может быть вообще не определено. Первый случай имеет место для функции <р(х)=[х], для которой ср(0 — 0) = —1, ср (0 -f- 0) = ср (0) = 0; второй — для функции ср (х) = — [х] — [—х], для которой ср (0 — 0) = — 1, ср (0 4- 0)= 1,ср (0) = 0, и третий —
для функции ср (х) == [х] + X sin — j для которой ср (0 — 0) = — 1, ср (0 + 0) = 0,
а ср(0) не определено.
В каждом из этих случаев мы будем говорить, что ср (а:) имеет простой разрыв при X= я*). К этим случаям мы можем добавить еще те случаи, когда ср (л:) определена только по одну сторону от X= а и ср (а — 0) или/ соответственно, ср(а + 0) существует, но либо не определена при*= а, либо имеет значение, отличное от ср(а — 0) (или ср(а + 0)).
Из п. 95 следует, что функция, которая в окрестности х=а монотонно возрастает или монотонно убывает, но не непрерывна в этой точке, может иметь в ней только простой разрыв.
(2) Может случиться, что ср (х) стремится к конечному пределу, или к + оо, или к —оо, когда х стремится кас любой стороны, и что она стремится к -f-oc или к —оо при Xy стремящемся к я по крайней мере с одной из
двух сторон. Это, например, имеет место, когда ср (х) равна — или или 1
когда она равна —для положительных х и равна 0 для отрицательных.
В таких случаях мы будем говорить, что х = а является точкой бесконечности функции ср (л:). Мы также включаем сюда те случаи, когда ср (х) стремится к +оо или —оо с одной стороны от я и ср(лг) не определена по другую сторону.
*) Разрыв, рассмотренный в (а), часто называют устранимым разрывом, а разрыв, рассмотренный в (?), — разрывом первого рода. (Прим. перев.)
188
Глава пятая
(3) Всякая точка разрыва, которая не является точкой простого разрыв или точкой бесконечности, называется точкой колебательного разрыва*). Например, лг=0 является точкой колебательвого разрыва для функции
. 1 sin — .
X
19. Какова природа разрыва в точке лг = 0 фувкций
• 1
Г— Зл— sin —
[х]+[—х], cosecx, у у —, cosec ~, ¦--у ?
