Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
с помощью кривых у = хт, у== —ах* — Ъх — с. Составить таблицу, указывающую число корней в разных случаях.
11. Решить уравнение sec б 4- cosec б = 2 \Ґ2 и показать, что уравнение sec 9 -f-cosec 9 = с имеет два корня между 0 и 2л, если с2<8, и четыре корня, если с* > 8.
12. Показать, что уравнение
2х = (2я + 1) те (1 — cos х),
где «—положительное целое число, имеет 2я + 3 корня, и примерно
указать их расположение. (Экз. 1896 г.)
2
13. Показать, что уравнение -5-х sin х = 1 имеет четыре корня между
о
— IC И Tt.
14. Рассмотреть число и значения корней уравнений
(1) ctgx + x — yk = °- (2) x2 + sinsx = l, (3) (l+-«2)tgx==2x, (4)sinx—x+^-x3 = 0,
(5) (1 — cosx)tga — X + sin x = 0.
15. Полином второй степени, принимающий при х = а, Ь, с соответственно значения а, ?, if, имеет вид
(х-b)(x — c) (X-C)(X-O) (х — а)(х — Ь) а (а — Ъ)(а — с) "1_р (Ъ — с)(Ъ — a) (с — а)(с — Ъ) '
Привести аналогичную формулу для полинома (п — 1)-ой степеви, который принимает при x=at, ait ап соответственно значения at, aa, ап.
16. Найти полином от х второй степени, который для значений х = 0, 1, 2 принимает значевия 1/с, 1/(с+1), 1/(с + 2), и показать, что когда л'=с+2, значение полинома будет 1/(с + 1). (Экз. 1911 г.)
17. Показать, что если х является рациональной функцией от у и у — рациональной функцией от х, то Аху + Bx + Cy+ D = O.
18. Если у является алгебраической функцией от х, то х есть также алгебраическая функция от у.
19. Проверить, что уравнение
1 Xі
COS -g- яд: = 1
Функции действительного переменного 73
17+3}Лі _ -і/"17 — 31/11 17 — 3J/TT У 17 + 3|/ТТ'
Это выражение содержит корень четвертой степени, но он является, конечно, квадратным корнем из квадратного корня. Мы должны были бы начать с построения l/ll как среднего между 1 и 11; затем построить
17 4-3|/ll и 17 — 3 у ЇІ и т. д. Или же эти две смешанные иррациональности можно было бы построить непосредственно как кории уравнения Xі— 34а: + 190 = 0.
Обратно, только иррациональности такого вида могут быть построены эвклидовыми методами. Исходя из единичной длины, мы можем построить любую рациональную длину, а следовательно, мы можем построить прямую Ax + By+C = O, ест отношения коэффициентов А, В, С рациональны. Далее, мы можем построить окружность
(A--a)*4-(y-?)'=p2
(или х*+у*+ 2gx+ 2fy + с = 0), если а, р, р рациональны (отсюда следует что и g, /, с рациональны).
Но в любом эвклидовом построении каждая новая точка, получаемая на чертеже, определяется либо как пересечение двух прямых или двух окружностей, либо как пересечение прямой и окружности. Если же коэффициенты рациональны, то пара уравнений вида
Ax + By+C = O, х*+y* + 2gx+2fy + с = 0
дает в качестве решения значения хну вида т + п "j/p, где т, п, р рациональны. Действительно, если мы подставим во второе уравнение у, выраженное через х из первого, то мы получим для X квадратное уравнение с рациональными коэффициентами. Таким образом, координаты всех точек, получаемых с помощью прямых и окружностей с рациональными коэффициентами, выражаются через рациональные числа и квадратичные ироациональности. То же можно сказать и относительно расстояния V(X1 — at2)3 4- (Уі.—УнУ между любыми двумя такими точками.
С построенными таким образом иррациональными расстояниями мы можем перейти к построению прямых и окружностей, коэффициенты которых сами уже содержат квадратичные иррациональности. Очевидно, однако, что все длины, которые могут быть построены с помощью таких прямых и окружностей, все же выражаются в конечном счете только через квадратные корни, хотя их выражения могут иметь очень сложный вид. Это положение остается в силе и при любом числе повторений наших построений. Таким образом, эвклидовыми методами можно построить любую иррациональность, содержащую только квадратные корни, и нельзя построить никаких других иррациональностей.
Одна нз знаменитых проблем древности состояла в удвоении куба, т. е.
в построении эвклидовыми методами длины, измеряемой 1/2. Можно показу__
зать, что у 2 не может быть выражен конечной комбинацией рациональных чисел и квадратных корней, так что решение этой проблемы невоз.
фициентов а, Ъ, с, что наверно имеет место, если а, Ъ, с рациональны. Все эти построения были эвклидовыми построениями: они производились с помощью только линейки и циркуля.
Совершенно очевидно, что мы можем построить этими методами и любую длину, которая измеряется иррациональным числом, определенным любой сколь угодно сложной комбинацией квадратных корней. Подходящим примером является, скажем,
74
Глава вторая
можно. См. H о bs on, Squaring the circle, стр. 47^и дальше*). Первый этап
доказательства, именно доказательство того, что У~2 не может быть корнем квадратного уравнения ах2 -f- 2Ъх -f- с = 0 с рациональными коэффициентами, был приведен в гл. I (Разные примеры, 27).
23. Показать, что единственными длинами, которые могут быть построены, исходя из данной единичной длины, с помощью одной линейки, являются рациональные длины.
