Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
P=U = (0+ Ii)(O + U) = (O -0 — 1 - 1) + (0 • 1 + 1 • 0)/ = -1.
Аналогично, (—1)* = -—1. Таким образом, комплексные числа / и — і удовлетворяют уравнению Xі=—1.
Читатель теперь легко убедится в том, что правила сложения и умножения комплексных чисел сводятся просто к тому, что действия над комплексными числами производятся в точности так же, как над действительными числами, причем символ і тоже рассматривается как число, но произведение іі = іг заменяется на — 1 всюду, где оно встречается. Так, например,
(х +уі) (х' + у'і) = хх' + ху'і +ух'і +уу'Р — = (хх' —уу') + (ху' + ух) L
42. Геометрическое толкование умножения на L Так как
(X +уі) і = —у+ ХІ,
мы видим, что если x+yi соответствует OP и OQ, равное OP, проведено так, что POQ — положительный прямой угол, то (х+уі) і соответствует OQ. Другими словами, умножение комплексного числа на і поворачивает соответствующее смещение на прямой угол.
Мы могли бы развить всю теорию комплексных чисел с этой точки зрения. Исходя из представления х, как смещения ОХ, и из і, как символа операции, эквивалентной рррОроту х на прямой угол,
86
Глава третья
мы пришли бы к представлению об yl, как смещении величины у вдоль OY. Далее было бы естественным определить x-\-yi, как в пп. 36 и 39, и (x-\-yi)i представляло бы смещение, полученное поворотом x-\-yl на прямой угол, т. е. —y-\-xL Наконец, мы определили бы [x-\-yl)x' как хх' -\-ух"і, (х-\-уї)у'і как —уу'-\--\- ху'і и
(x+yl)(x'+y'l) как сумму этих смещений, т. е. как
хх' —уу' -\- {ху' -\-ух') L ¦¦
43. Уравнения za-f-l = 0, агъ -j- 2bz -f- с = 0. He существует действительного числа z такого, что z* -f- 1 = 0; мы говорим, что это уравнение не имеет действительных корней. Но, как мы видели, комплексные числа / и —і удовлетворяют этому уравнению. Мы говорим, что это уравнение имеет два комплексных корня і и — /. Так как і удовлетворяет уравнению z* = —1, его иногда записывают в виде -/—1.
Комплексные числа иногда называются мнимыми х). Этот термин не очень удачен, но он прочно вошел в употребление и должен быть принят. Но „мнимое число" не более „мнимо", в обычном смысле этого слова, чем „действительное" число или любое другое математическое понятие.
Действительное число не является числом в том же смысле, в каком понимается рациональное число, и комплексное число также не является числом в том же смысле, в каком понимается действительное число. Комплексное число является, как читателю должно быть ясно из предыдущих рассмотрений, парой чисел (х, у), символически объединенных в целях удобства оперирования с ними в форму x-\-yl. Так,
i = 0-f-H
пишется вместо пары чисел (0, 1) и геометрически может быть представлено точкой или смещением [0, 1]. И когда мы говорим, что і является корнем уравнения 1=0, под этим понимается
только то, что мы определили метод комбинирования таких пар чисел (или смещений), который мы называем „умножением" и который при комбинировании им пары (0, 1) с самой собой дает пару (-1, 0).
Рассмотрим теперь более общее уравнение az*-\-2bz-\-c = 0,
где а, Ь, с — действительные числа. Если й2^>ас, то обычные методы решения дают два действительных корня
~{ — Ь±УЬі— ас}.
') Выражение „действительное число" было введено как противопостав-дение^мнимому числу",
Комплексные числа „
87
Если же ?2 <^ ас, то уравнение не имеет действительных корней. Оно может быть записано в виде
что имеет место тогда, когда z-f-— является любым из двух ком-ЛГ\-1)
плексных чисел чні у —(ас — й2) . Мы говорим, что уравнение имеет два комплексных корня
а а
Если мы условимся говорить, что в случае й2 = ас ^ когда уравнение удовлетворяется только одним значением х, а именно, —-^-j уравнение имеет два одинаковых корня, то тогда квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет два корня во всех случаях, а именно: либо два различных действительных корня, либо два одинаковых действительных корня, либо два различных комплексных корня.
Естественно возникает вопрос, не может ли квадратное уравнение, поскольку комплексные корни допускаются, иметь более двух корней. Легко видеть, что это невозможно. Доказательство может быть проведено с помощью тех же рассуждений, которые применяются в элементарной алгебре при доказательстве того, что уравнение степени п не может иметь более п действительных корней. Обозначим комплексное число x-\-yi одной буквой z, т. е. будем писать z = x-\-yi. Пусть f(z) означает любой полином от z с действительными или комплексными коэффициентами. Тогда мы последовательно доказываем,
(1) что остаток от деления f(z) на z — а, где а — любое действительное или комплексное число, равен f(a);
(2) что если а является корнем уравнения f(z) = 0, то f(z) делится на z — а без остатка;
(3) что если f(z) — полином степени п и f(z) = 0 имеет п корней а„ а2, ..., ап, то
/(z) = А (Z — а,) (Z — а3)... (z — ап),
где А — действительная или комплексная постоянная, а именно, коэффициент при zn в f(z). Из этого последнего результата и из теоремы п. 40 следует, что f(z) не может иметь более п корней.
