Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
29. F. Другие классы трансцендентных функций. Следующие по важности за тригонометрическими являются функции показательная и логарифмическая, которые будут рассмотрены в гл. IX и X. В настоящий момент эти функции еще недоступны нам, а большинство других изученных классов трансцендентных функций, как, например, эллиптические функции, бесселевы и лежандровы функции, гамма-функция и т. п., и вовсе выходят за рамки этой книги. Существуют, однако, некоторые элементарные типы функций, которые хотя и обладают значительно меньшим теоретическим интересом, чем функции рациональные, алгебраические или тригонометрические, тем не менее особенно поучительны как примеры возможных разновидностей функциональной зависимости.
Примеры XVI. 1. Пусть у = [х], где [х] обозначает наибольшее целое число, не большее х. График показан на фиг. 14а. Левые концы сплошных отрезков принадлежат к графику, а правые не принадлежат.
2. у = х—[х\ (фиг. Ub). 3.у=У х— [X] (фиг. 14с).
4. у = [X] + У х—[х] (фиг. 14d). 5. у = (х- [x]Y, [х] + (х — [х])*.
в.у = 1Ух], [xs], У~х:-[У~х], X'--fx2], [1-х2].
Функции действительного переменного 63
с d
Фиг. 14
в обычном смысле этого слова. На графике нет точек, соответствующих иррациональным значениям х.
Проведем отрезок прямой, соединяющий точки (N— 1, N) и (N, N), где N—положительное целое число. Показать, что число точек графика, лежащих на этом отрезке, равно числу положительных целых чисел, меньших N и взаимно простых с N.
9. Пусть у = 0, если X—целое число, н у = х, когда х—нецелое. График получается из прямой линину = * изъятием из нее точек
... , (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ...
и добавлением точек
... , (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), ...
ОСИ Jt-OB.
7. Пусть у определено как наибольший простой делитель х (см. пример X. 6). Тогда у определено только для целочисленных значений х. Если
X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... ,
ТО
у = 1, 2, 3, 2, о, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13.....
График состоит из изолированных точек.
8. Пусть у будет знаменателем х (см. пример X. 7). В этом случае у определено только для рациональных значений х. Мы можем отметить на графике сколько угодно точек, но результат не будет представлять кривую
64
Глава вторая
10. Пусть у = 1, если X рационально, и у = 0, если X иррационально. График состоит нз двух рядов точек, расположенных на прямых у = 1 и у = 0. Для глаза он неотличим от этих двух непрерывных прямых, но в действительности бесконечно много точек отсутствует на каждой из них.
11. Пусть у=х, если X иррационально, ну=1/ 7~ ' • еслих —
' U + Я )
р
рациональное число —.
Часть графика, соответствующая иррациональным значениям х, в действительности не является непрерывной кривой, но по виду неотличима от прямой у=х.
Рассмотрим теперь рациональные значення х. Пусть сначала х будет
положительным. Тогда 1/ ^ "j~^J- не может быть равен p/q, если р ф q,
J (1 -f- q )
т. е. хфі. Таким образом, все точки, соответствующие рациональным значенням х, не попадают на прямую у = х, кроме единственной точки (1, 1).
Далее, если p<q, У Q +^j > ? ; если р > q, < |- Следо-
вательно, точки лежат выше этой прямой, если 0<х<1, и ниже ее,— если л->1. Если р и q— большие числа, то Т/г. ~t ^ і приблизительно
* (1 + я)
равен P-. Вблизи любого значения х можно найти любое число рациональных чисел с большими числителями и знаменателями. Поэтому график содержит большое число точек, скапливающихся вокруг прямой у=х. Его общим видом (для положительных х) будет прямая, окруженная роем изолированных точек, который становится все гуще и гуще по мере приближения к прямой.
Часть графика, соответствующая отрицательным значениям х, состоит из остатка разрывной прямой и зеркальных отображений всех этих изолированных точек в оси у-ов. Таким образом, слева от оси у-ов точки скапливаются не вокруг прямой у =х, а вокруг прямой у = — х, которая сама не принадлежит к графику.
30. Графическое решение уравнений, содержащих одно неизвестное число. Многие уравнения могут быть представлены в виде
/(X) = <р {X), (1)
где f(x) и &(х) — функции, графики которых нетрудно начертить. Если кривые
У=/(х)> У = 9(X)
пересекаются в точке P с абсциссой S, то X является корнем уравнения (1).
Примеры XVII. 1. Квадратное уравнение ах2 4- Ьх -4- с = 0. Графически это уравнение может быть решено многими способами. Например, мы можем начертить графики функций
у = ах + 2Ь, у = — ~,
Функции действительного переменного
65
пересечения которых, если они существуют, определят корни. Или мы можем взять
у = х", у = - а
(см. также примеры VII. 2).
2. Решить каким-либо из этих методов уравнения
х2 + 2х — 3=0, х* — 7х + 4 = 0, Зх2+2х--2 = 0.
3. Уравнение хт -f- ах -f- Ь = 0. Это уравнение может быть решено построением KpHBbIXy = X^y = —ах — Ь. Проверить следующую таблицу числа корней уравнения
хт-\-ах-\-b = 0:
( Ъ положительно, два или ни одного, (а) т четно <
