Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
{ о отрицательно, два.
(а положительно, один, (D) т нечетно <
У, а отрицательно, три или один.
Составить числовые примеры, иллюстрирующие все возможные случаи.
4. Показать, что уравнение tg х = ах + b всегда имеет бесконечное число корней.
5. Определить число корней уравнений
1.1. 1
sin х = х, sinx=g-x, sinx = -g-x, sin X = x-
6. Показать, что если в мало и положительно (например, в =0,01), то уравнение
1
X—O = Y^sIn2X
имеет три корня. Рассмотреть также случай малого отрицательного а. Исследовать, как меняется число корней, когда изменяется а.
31. Функции двух переменных и их графическое представление. В п. 20 мы рассматривали два переменных, связанных некоторым соотношением. Мы можем также рассматривать три переменных (х, у и z), связанных некоторым соотношением так, что когда значения х и у даны, значение или значения z известны. В этих условиях мы называем z функцией двух переменных х и у; X и у являются независимыми переменными, z—-зависимым переменным, и мы выражаем эту зависимость z от х и у символом
z=f(x, у).
Замечания, сделанные в п. 20, остаются в силе и в этом, более сложном, случае.
Графический метод представления таких функций двух переменных в принципе остается тем же, что и для функций от одного переменного. Мы берем три оси ОХ, OY, OZ в пространстве трех измерений так, что каждая ось перпендикулярна к двум другим. Точка (а, Ъ, с) — это точка, расстояния которой от плоскостей YOZ,
5 Г. Харди
66
Глава вторая
ZOX, XOY, измеренные параллельно ОХ, OY, OZ, равны, соответственно, a, b не. При этом следует, конечно, учитывать знаки, исходя из того, что длины, измеряемые в направлениях ОХ, OY, OZ, считаются положительными. Определения координат,осей и начала остаются прежними. Пусть теперь
г =f(x, у).
Когда X и у изменяются, точка (х, у, z) движется в пространстве. Совокупность всех принимаемых ею положений называется геометрическим местом точки (х,у, z), или графиком функции z=f(x,y). Если соотношение между х, у и z, которое определяет z, может быть выражено аналитической формулой, то эта формула называется уравнением геометрического места. Легко показать, например, что уравнение
Ax +By+ Cz+ D = O
(общее уравнение первой степени) представляет плоскость и что уравнение любой плоскости может быть представлено в таком виде. Уравнение
(*_«)«+. (у _ ру + (г _т)« = р«
или
хъ -J- г2 -4- 2Fx + 2Gy -4- 2Hz + С = О,
где F* -4- G2 + Н*— С^>0, представляет сферу и т. д. За доказательствами этих предложений мы вновь должны отослать читателя к учебникам аналитической геометрии.
32. Плоские кривые. До сих пор для выражения функциональной зависимости у от х мы применяли обозначение
.У =/(*)¦ (1)
Ясно, что это обозначение лучше всего подходит в том случае, когда у определено посредством формулы, содержащей х.
Нам придется, однако, часто иметь дело с функциональными зависимостями, которые либо невозможно, либо неудобно выразить в такой форме. Если, например, у"—у—л; = 0, или х3+у3—ау = 0, то известно, что нельзя явно выразить у как алгебраическую функцию от х. Если
*2+У* + 2Gx + 2Fy + С = О,
то
У = — /7+//72 — Xі— 2Gx-C;
но функциональная зависимость у ot х проще выражается первоначальным уравнением.
Во всех этих случаях функциональная зависимость выражается приравниванием к нулю функции двух переменных х и у, т. е. уравнением
/(*,j,):=0. (2)
Функции действительного переменного
67
Это уравнение мы будем считать общим выражением функциональной зависимости. Оно содержит уравнение (1) как частный случай, так как у—f(x) является специальным видом функции от х и у. Мы можем, следовательно, говорить о геометрическом месте точек (л:, у), подчиненных уравнению f(x, _у) = 0, о графике функции у, определенной уравнением f(x, у) = 0, о кривой или геометрическом месте f(x, у) = 0 и об уравнении этой кривой или этого геометрического места.
Существует еще другой метод представления кривых, который также часто полезен. Допустим, что х и у являются функциями некоторой третьей переменной t, которая может иметь некоторый геометрический смысл, а может такового и не иметь. Мы можем записать
x=f(t), у = F(fi. (3)
Если t приписывается какое-либо частное значение, то соответствующие значения X и у известны. Каждая пара таких значений определяет точку (х, у). Если мы построим все точки, которые соответствуют, таким образом, разным значениям t, то мы получим график геометрического места, определенного уравнениями (3). Предположим, например, что
X = a cos t, у = а sin t,
и пусть t изменяется от 0 до 2те. Тогда легко видеть, что точка (л:, у) описывает окружность радиуса а с центром в начале. Если t принимает значения, лежащие вне указанных пределов, то точка (л:, у) вновь и вновь описывает ту же окружность.
Исключение t дает дга-|-_уа = а2 — обычное уравнение окружности.
Примеры XVIII. 1. Точки пересечения двух кривых с уравнениями f(x,y) = 0, у(х,у) = 0, где / и «р — полиномы, могут быть определены, если эти уравнения могут быть решены совместно относительно хну. Таким образом, два уравнения, как правило, представляют конечное число изолированных точек.
