Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 17
PQ = RS.
Возьмем теперь какую-либо систему координат на плоскости (как, например, OX, OY на фиг. 17). Проведем отрезок OA, равный и параллельный PQ так, чтобы смысл движения от О к Л был бы тем же, что и от P к Q. Тогда PQ и OA — эквивалентные смещения. Пусть X и у будут координатами А. Тогда, очевидно, OA полностью определено, если хну заданы. Мы будем называть OA смещением [х, у) и писать
OA = PQ = RS=[X, у).
35. Эквивалентность смещений. Умножение смещений на числа. Если I и tj являются координатами точки Р, а I' и г{ — координатами точки Q, то, очевидно,
х = ?'— \, у = 41 — 11. Смещение из (S, •»)) в (?', •»)') будет поэтому
[V—k, ц'—щ).
Ясно, что два смещения [х, у], [х1, у') эквивалентны тогда и только тогда, когда х = х', у= у'. Таким образом, [х, у) = [х', у') в том и только в том случае, когда
х==х\ у=у\
(1)
Комплексные числа
П
Обратным смещением QP будет [S— S', г\—>•»]'), и естественно условиться, что
[5 — Ї', If1-V]=—IE'—6. V-Ib QP = — PQ.
Эти соотношения в действительности являются определениями символов — [S'—S, V—"")1 и —^Q- Положив, таким образом,
— [х, у) = [—х, —у), естественно, далее, условиться в том, что
*[х, у] = 1*х> «У]. (2)
где а—-любое действительное число (положительное или отрицательное). Так, например, если OB— ^ OA (см. фиг. 17), то
OB=*—\oA = — ±\x,y\=\—\x, —\у].
Уравнения (1) и (2) определяют два первых важных понятия, связанных со смещениями, а именно: эквивалентность смещений и умножение смещений на числа.
36. Сложение смещений. Мы еще пока не дали определения, в силу которого выражениям
PQ +¦P5Q'. [х, у] + [х\ у']
был бы приписан определенный смысл. Интуиция сразу нам подсказывает, что мы должны определить сумму двух смещений как смещение, являющееся результатом последовательного осуществления двух данных смещений. Другими словами, если QQ1 равно по длине и параллельно P1Q', то в результате последовательных смещений PQ, P'Q' частица переносится из точки P сначала в точку Q, а затем в Q1, так что мы должны определить сумму PQ и P1Q' как PQ1. Если мы, стало быть, проведем ОА, равное по длине и параллельное PQ, и OB, равное по длине и параллельное P1Q', и достроим параллелограм ОАСВ, то будем иметь
PQ+ P^Q'== OA-\~ OB = OC
(фиг. 18).
Рассмотрим следствия из этого определения. Если х', у' — координаты точки В, то координатами середины отрезка AB будут
~<2~(х + х')> ~2(У+У')> и> следовательно, С будут иметь координаты
х + х\ у+у\ Таким образом,
[х, У]+[х',у'] = [х+х', у+у'},
(3)
78
Глава третья
что может рассматриваться как символическое определение сложения смещений. Заметим, что
[х', у'] + [х, у) = [х' + х, У +у\ = [х + х\ V+у') = = [х, V)+Ix', у').
Другими словами, сложение смещений подчиняется закону коммутативности, выражаемому в обычной алгебре равенством а + Ь = — Ь + а. Этот закон выражает очевидный геометрический факт, что если мы движемся из P сначала по отрезку PQ2, равному по длине и параллельному P1Q', а затем по отрезку, равному по длине и
Фиг. 18
параллельному~Рф, то мы придем в ту же самую точку Q1, что и прежде.
В частности,
[х, у\ = [х, 0] ~f- [0, у). (4)
Здесь [х, 0] означает смещение на расстояние х в направлении, параллельном ОХ. Это то смещение, которое мы обозначали через [х], когда рассматривали смещения только вдоль прямой. Мы называем [х, 0] и [0, .у] компонентами [х, у), а [х, у) — их результирующей.
После того как мы определили сложение двух смещений, не представляет уже труда определение суммы любого числа смещений.
Комплексные числа 79
Так, по определению,
[х, у] + [*', у'\ + [*", У"] = ([*, У] + [х', у']) + [х", у"] == = [* + X, У+У'} + [х", у"] = [X + х' + х", у +у' +у"). Мы определяем вычитание смещений уравнением
[х, у] — [х', у'] = [х, у] + (— [х', у]), (5)
что ничем не отличается от [х, у] -)- [—х', —у'] или от [х—У, V—у']. В частности,
[X, у] — [X, у/] = [0, 0].
Смещение [0, 0] оставляет частицу на прежнем месте; оно является нулевым смещением, и мы будем писать вместо [0, 0] просто 0.
Примеры XX. 1. Доказать, что
(1) а [?x, ?y] = ? [ах, ay] = [а ? х, а ? у].
(2) ([х, УІ +1*', /1) + [*", У"\ = [*. У] + ([X', У] + [X", у"]).
(3) [х, у] + [*', У'\ = [х\ У'] + [х, у].
(4) (« + M*,:v] = «[*,.vl+P[*. УІ
(5) а {[х, у] + [X', у']} = а [х, у] + а [х', У].
[Мы уже доказали (3). Остальные соотношения так же легко следуют из определений. Читателю рекомендуется в каждом случае рассмотреть геометрическое толкование уравнения, как мы это проделали выше в случае (3).]
2. Если Af- середина PQ, то OAf = у (OP -4- OQ). Вообще, если M делит PQ в отношении (а:Х, то
ОЖ = OP + OQ. X+^ ' X р.
3. Если G — центр тяжести материальных точек P1, P2,..., Pn с равными массами, то
OG=I (OP1 + OP2 + ...+OP„).
4. Если Р, О, P — три точки, лежащие на одной прямой, то существуют три действительные числа а, ?, 4, не все равные нулю и такие, что
aOP + ?OQ + ^OR = 0.
